বাতাস বন্ধ থাকলে মুদ্রা আর পালক একসাথে পড়ে
নিয়ন্ত্রণ
অভিকর্ষজ ত্বরণ, g (m/s²)
পরিমাপ
- সময়, t
- ০.০০s
- সূত্রে সময়, √(2h/g)
- ২.০২s
- মুদ্রার বেগ, v
- ০.০m/s
- পালকের বেগ
- ০.০m/s
- মুদ্রার অতিক্রান্ত দূরত্ব
- ০.০m
- পালকের অতিক্রান্ত দূরত্ব
- ০.০m
- মুদ্রা মাটিতে পড়ল
- …s
- পালক মাটিতে পড়ল
- …s
সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে
- প্রথমে কিছু না বদলে শুধু দেখো: বাতাস বন্ধ, তাই মুদ্রা আর পালক একই সাথে নামছে আর একই মুহূর্তে মাটিতে পড়ছে।
- “বাতাসের বাধা চালু করো” টিক দাও: মুদ্রা প্রায় আগের মতোই পড়ে, কিন্তু পালক ধীরে ধীরে ভেসে নামে।
- স্ট্রোব চালু রাখো: সমান সময় পরপর তোলা ছবির মাঝের দূরত্বগুলো ১ : ৩ : ৫ : ৭ অনুপাতে বাড়ে, সংখ্যাগুলো মুদ্রার পাশে লেখা থাকে।
- ডান পাশের দুটি লেখচিত্র দেখো: v–t একটি সরলরেখা (দ্বিতীয় সূত্র), h–t একটি বাঁকা পরাবৃত্ত (তৃতীয় সূত্র)।
- উচ্চতার স্লাইডার আর গ্রহ বদলাও, তারপর পরিমাপ প্যানেলে “সূত্রে সময়” আর “মুদ্রা মাটিতে পড়ল” মিলিয়ে দেখো।
আম, বৃষ্টির ফোঁটা আর হাত থেকে পড়া মোবাইল
গাছ থেকে একটা পাকা আম টুপ করে পড়ল। শুরুতে আমটা ধীরে নড়ে, কিন্তু মাটির কাছে এসে এত জোরে পড়ে যে ঘাসে একটা গর্ত হয়ে যায়। মানে পড়তে পড়তে আমের বেগ বাড়ছিল। কতটা বাড়ছিল, আর প্রতি সেকেন্ডে ঠিক কত মিটার নামছিল? এই প্রশ্নের উত্তরই পড়ন্ত বস্তুর সূত্র।
হাত ফসকে মোবাইল পড়ে গেলে আমরা সবাই জানি, টেবিল থেকে পড়লে হয়তো বাঁচবে, কিন্তু দোতলার বারান্দা থেকে পড়লে শেষ। উচ্চতা দ্বিগুণ হলে কি ধাক্কাও দ্বিগুণ হয়? মজার ব্যাপার হলো, না। উচ্চতা দ্বিগুণ হলে পড়ার সময় দ্বিগুণ হয় না, বাড়ে প্রায় ১.৪ গুণ। কেন এমন হয়, এই পাতার শেষে তুমি নিজেই হিসাব করে বলতে পারবে।
আরেকটা পুরোনো ধাঁধা: একটা ভারী পাথর আর একটা হালকা কাগজ একসাথে ছাড়লে কোনটা আগে পড়ে? বেশিরভাগ মানুষ বলবে পাথর। দুই হাজার বছর ধরে বড় বড় পণ্ডিতরাও তাই বলতেন। কিন্তু উত্তরটা আসলে “নির্ভর করে বাতাসের ওপর”। উপরের সিমুলেশনে বাতাস বন্ধ করে দেখো: মুদ্রা আর পালক হাত ধরাধরি করে একসাথে নামে।
একদম শুরু থেকে: পড়ন্ত বস্তু কাকে বলে
পৃথিবী সবকিছুকে নিজের কেন্দ্রের দিকে টানে। এই টানের নাম অভিকর্ষ বল। কোনো বস্তুকে উঁচু থেকে ছেড়ে দিলে, আর তার ওপর অন্য কোনো বল (বাতাসের বাধা, সুতার টান, হাতের ধাক্কা) কাজ না করলে, সে শুধু অভিকর্ষের টানে নিচে নামে। এমন বস্তুকেই বলে মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তু বা সংক্ষেপে পড়ন্ত বস্তু।
এখানে দুটি শর্ত মনে রাখো। প্রথমত, বস্তুটা স্থির অবস্থা থেকে শুরু করে, অর্থাৎ আদিবেগ u = ০। দ্বিতীয়ত, পথে কোনো বাধা নেই। বাস্তবে বাতাস সবসময় একটু বাধা দেয়, কিন্তু পাথর, মুদ্রা বা বলের মতো ভারী আর ছোট জিনিসের জন্য সেটা এত সামান্য যে কয়েক মিটারের পতনে আমরা নির্দ্বিধায় উপেক্ষা করতে পারি।
অভিকর্ষ বল বস্তুর বেগ প্রতি সেকেন্ডে একটা নির্দিষ্ট পরিমাণে বাড়িয়ে দেয়। পৃথিবীর পৃষ্ঠের কাছে এই বৃদ্ধি প্রায় ৯.৮ মিটার/সেকেন্ড প্রতি সেকেন্ডে। একেই বলে অভিকর্ষজ ত্বরণ, প্রতীক g। মানে পড়ার ১ সেকেন্ড পর বেগ ৯.৮ m/s, ২ সেকেন্ড পর তার দ্বিগুণ, ৩ সেকেন্ড পর তিনগুণ। বেগ সমান হারে বাড়ছে, তাই পড়ন্ত বস্তুর গতি হলো সুষম ত্বরণের গতি।
সুষম ত্বরণ কথাটার গুরুত্ব অনেক। যেহেতু ত্বরণ বদলায় না, তাই গতির যে তিনটি সমীকরণ তুমি “গতি” অধ্যায়ে শিখেছ (v = u + at ইত্যাদি), সেগুলোই পড়ন্ত বস্তুর জন্য হুবহু খাটে। শুধু a-এর জায়গায় g আর s-এর জায়গায় h বসিয়ে দিলেই হলো। পড়ন্ত বস্তু কোনো নতুন পদার্থবিজ্ঞান না, এটা সুষম ত্বরণেরই সবচেয়ে পরিচিত উদাহরণ।
আর একটা চমৎকার কথা: g বস্তুর ভরের ওপর নির্ভর করে না। ভারী বস্তুকে পৃথিবী বেশি জোরে টানে ঠিকই, কিন্তু ভারী বস্তুকে নড়াতেও বেশি বল লাগে (তার জড়তা বেশি)। এই দুটো ঠিক সমান হারে বাড়ে, তাই কাটাকাটি হয়ে যায়। ফল: বাতাস না থাকলে হাতি আর পিঁপড়া একই ত্বরণে পড়ে।
পড়ন্ত বস্তুর গুরুত্বপূর্ণ শব্দগুলো
সূত্রে যাওয়ার আগে শব্দগুলো ঝালিয়ে নিই। পরীক্ষার “কাকে বলে” প্রশ্ন এখান থেকেই আসে।
| শব্দ | প্রতীক | সহজ ভাষায় অর্থ | একক |
|---|---|---|---|
| অভিকর্ষ বল | mg | পৃথিবী যে বলে বস্তুকে নিজের কেন্দ্রের দিকে টানে; এটাই বস্তুর ওজন | নিউটন (N) |
| অভিকর্ষজ ত্বরণ | g | অভিকর্ষের টানে প্রতি সেকেন্ডে বেগ যতটুকু বাড়ে | m/s² |
| আদিবেগ | u | গতির শুরুতে বেগ; ছেড়ে দিলে u = ০ | m/s |
| শেষবেগ | v | t সময় পরে বা মাটিতে পৌঁছানোর মুহূর্তে বেগ | m/s |
| উচ্চতা বা অতিক্রান্ত দূরত্ব | h | যতটুকু নিচে নেমেছে | মিটার (m) |
| সময় | t | ছেড়ে দেওয়ার পর কতক্ষণ কেটেছে | সেকেন্ড (s) |
| বাতাসের বাধা | — | বাতাস বস্তুর গতির উল্টো দিকে যে বল দেয়; বেগ বাড়লে বাড়ে | নিউটন (N) |
| প্রান্তিক বেগ | vₜ | যে বেগে বাতাসের বাধা ওজনের সমান হয়ে যায়, ফলে বেগ আর বাড়ে না | m/s |
কে আবিষ্কার করেন: অ্যারিস্টটল বনাম গ্যালিলিও
প্রায় আড়াই হাজার বছর আগে গ্রিক দার্শনিক অ্যারিস্টটল বলেছিলেন, ভারী বস্তু হালকা বস্তুর চেয়ে দ্রুত পড়ে, আর ওজন যত গুণ বেশি, পড়ার বেগও তত গুণ বেশি। কথাটা শুনতে যুক্তিসংগত, রোজকার অভিজ্ঞতার সাথেও মেলে (পাথর আগে পড়ে, পাতা পরে)। তাই প্রায় দুই হাজার বছর কেউ এটা পরীক্ষা করে দেখার দরকারই মনে করেনি।
ষোড়শ শতাব্দীতে ইতালির বিজ্ঞানী গ্যালিলিও গ্যালিলি (১৫৬৪–১৬৪২) প্রশ্ন তুললেন। প্রচলিত গল্প আছে তিনি পিসার হেলানো মিনার থেকে দুটি ভিন্ন ভরের বল ফেলেছিলেন; গল্পটা সত্যি কি না তা নিয়ে ইতিহাসবিদদের সন্দেহ আছে। যা নিশ্চিত, তা হলো তিনি মসৃণ হেলানো তলে বল গড়িয়ে খুব যত্ন করে সময় মেপেছিলেন। হেলানো তলে বল ধীরে চলে, তাই পানির ঘড়ি দিয়েও মাপা যেত।
এই পরীক্ষা থেকে গ্যালিলিও দেখালেন: বাধা না থাকলে সব বস্তু একই হারে পড়ে, বেগ সময়ের সাথে সমানভাবে বাড়ে, আর অতিক্রান্ত দূরত্ব সময়ের বর্গের সাথে বাড়ে। এই তিনটি পর্যবেক্ষণই আজ আমরা পড়ন্ত বস্তুর তিনটি সূত্র নামে পড়ি। তাই “পড়ন্ত বস্তুর সূত্র কে আবিষ্কার করেন” প্রশ্নের উত্তর: গ্যালিলিও।
গ্যালিলিওর একটা চিন্তা-পরীক্ষাও দারুণ। ধরো ভারী পাথর দ্রুত পড়ে আর হালকা পাথর ধীরে। এবার দুটোকে দড়ি দিয়ে বাঁধো। হালকাটা ভারীটাকে পেছনে টানবে, তাই জোড়াটা ভারী পাথরের চেয়ে ধীরে পড়বে। আবার জোড়াটার মোট ভর তো বেশি, তাই সেটা আরও দ্রুত পড়ার কথা! একই জিনিস একসাথে ধীরে আর দ্রুত পড়তে পারে না। তাই অ্যারিস্টটলের কথাটাই ভুল।
পড়ন্ত বস্তুর তিনটি সূত্র
তিনটি সূত্রেরই শর্ত এক: বস্তু স্থির অবস্থান থেকে পড়া শুরু করবে এবং বিনা বাধায় পড়বে। পরীক্ষায় সূত্র লেখার সময় এই শর্তটা বাদ দিলে নম্বর কাটা যায়, তাই প্রতিটা সূত্রের শুরুতেই লিখবে।
প্রথম সূত্র: সব বস্তু সমান সময়ে সমান পথ অতিক্রম করে
স্থির অবস্থান ও একই উচ্চতা থেকে বিনা বাধায় পড়ন্ত সকল বস্তু সমান সময়ে সমান পথ অতিক্রম করে।
সহজ কথায়: ভারী হোক বা হালকা, বড় হোক বা ছোট, বাতাস না থাকলে সবাই একসাথে মাটিতে পড়ে। সিমুলেশনে বাতাস বন্ধ রেখে দেখো, মুদ্রা আর পালকের “মাটিতে পড়ল” সময় দুটো হুবহু এক। এর কারণ আগেই বলেছি: g বস্তুর ভরের ওপর নির্ভর করে না।
দ্বিতীয় সূত্র: বেগ সময়ের সমানুপাতিক
স্থির অবস্থান থেকে বিনা বাধায় পড়ন্ত বস্তু নির্দিষ্ট সময়ে যে বেগ প্রাপ্ত হয়, তা ঐ সময়ের সমানুপাতিক।
অর্থাৎ সময় দ্বিগুণ হলে বেগ দ্বিগুণ, তিনগুণ হলে তিনগুণ। এটা আসে v = u + gt থেকে; u = ০ হলে v = gt, আর g ধ্রুব বলে v ∝ t। তাই v–t লেখচিত্র মূলবিন্দু দিয়ে যাওয়া একটি সরলরেখা, যার ঢাল g = ৯.৮।
v ∝ tv₁ / v₂ = t₁ / t₂
তৃতীয় সূত্র: দূরত্ব সময়ের বর্গের সমানুপাতিক
স্থির অবস্থান থেকে বিনা বাধায় পড়ন্ত বস্তু নির্দিষ্ট সময়ে যে দূরত্ব অতিক্রম করে, তা ঐ সময়ের বর্গের সমানুপাতিক।
অর্থাৎ সময় দ্বিগুণ হলে দূরত্ব চারগুণ, তিনগুণ হলে নয়গুণ। এটা আসে h = ut + ½gt² থেকে; u = ০ হলে h = ½gt², তাই h ∝ t²। এজন্য h–t লেখচিত্র সরলরেখা না, বাঁকা পরাবৃত্ত।
h ∝ t²h₁ / h₂ = t₁² / t₂²
সূত্রগুলো কোথা থেকে এলো: গতির সমীকরণ থেকে
সুষম ত্বরণের তিনটি সমীকরণে a = g, s = h আর ছেড়ে দিলে u = ০ বসাও। নিচের চারটি সূত্রই পড়ন্ত বস্তুর সব অঙ্কের চাবি।
v = u + gtছেড়ে দিলে v = gt
h = ut + ½gt²ছেড়ে দিলে h = ½gt²
v² = u² + 2ghছেড়ে দিলে v = √(2gh)
t = √(2h/g)মাটিতে পৌঁছানোর সময়
প্রথম সমীকরণ কেন v = gt
ত্বরণ মানে প্রতি সেকেন্ডে বেগের বৃদ্ধি। প্রতি সেকেন্ডে g করে বাড়লে t সেকেন্ডে মোট বাড়ে g × t। শুরুতে বেগ শূন্য ছিল, তাই t সেকেন্ড পরে বেগ gt। এত সহজ!
দ্বিতীয় সমীকরণ কেন h = ½gt²
বেগ ০ থেকে সমানভাবে বেড়ে gt হয়েছে, তাই এই সময়ের গড় বেগ হলো শুরু আর শেষের গড়: (০ + gt) ÷ ২ = ½gt। দূরত্ব = গড় বেগ × সময় = ½gt × t = ½gt²। v–t লেখচিত্রের নিচের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলও ঠিক এটাই: ½ × ভূমি t × উচ্চতা gt।
তৃতীয় সমীকরণ আর মাটিতে পৌঁছানোর সময়
প্রথম দুটি সমীকরণ থেকে t বাদ দিলে পাই v² = 2gh, যখন সময় জানা নেই কিন্তু উচ্চতা জানা, তখন এটা কাজে লাগে। আবার h = ½gt² থেকে t বের করলে পাই t = √(2h/g)। এখানেই মোবাইলের ধাঁধার উত্তর: t ∝ √h, তাই উচ্চতা দ্বিগুণ হলে সময় √২ ≈ ১.৪১ গুণ হয়, দ্বিগুণ হয় না।
অভিকর্ষজ ত্বরণ ৯.৮ বলতে কী বোঝায়
g = ৯.৮ m/s² বলতে বোঝায়, বাধাহীনভাবে পড়ন্ত বস্তুর বেগ প্রতি সেকেন্ডে ৯.৮ মিটার/সেকেন্ড করে বাড়ে। প্রথম সেকেন্ড শেষে বেগ ৯.৮ m/s, দ্বিতীয় সেকেন্ড শেষে তার দ্বিগুণ, এভাবে চলতে থাকে। আন্তর্জাতিকভাবে গৃহীত আদর্শ মান ৯.৮০৬৬৫ m/s², কিন্তু স্কুলের অঙ্কে ৯.৮ ধরাই নিয়ম।
অভিকর্ষজ ত্বরণ বস্তু নিরপেক্ষ, কিন্তু স্থান নিরপেক্ষ নয়। বস্তু নিরপেক্ষ, কারণ একই জায়গায় ভারী-হালকা সব বস্তুর জন্য g একই। স্থান নিরপেক্ষ নয়, কারণ জায়গা বদলালে g বদলায়। পৃথিবী পুরোপুরি গোল না, মেরুতে একটু চাপা; তাই মেরুতে বস্তু পৃথিবীর কেন্দ্রের কাছে থাকে আর g প্রায় ৯.৮৩, বিষুবরেখায় প্রায় ৯.৭৮ m/s²। উঁচু পাহাড়ে বা খনির গভীরে গেলেও g কমে।
অন্য গ্রহে গেলে g অনেক বদলে যায়, কারণ g নির্ভর করে গ্রহের ভর আর ব্যাসার্ধের ওপর। নিচের সারণিতে সিমুলেশনের মতোই ২০ মিটার উচ্চতা থেকে ছেড়ে দিলে বিভিন্ন জগতে কত সময় লাগে আর কত বেগে মাটিতে পড়ে, তা হিসাব করা আছে।
| জগৎ | g | ২০ m থেকে পড়তে সময় | মাটিতে পড়ার বেগ |
|---|---|---|---|
| পৃথিবী | ৯.৮০ m/s² | ২.০২ s | ১৯.৮ m/s |
| চাঁদ | ১.৬২ m/s² | ৪.৯৭ s | ৮.০ m/s |
| মঙ্গল | ৩.৭১ m/s² | ৩.২৮ s | ১২.২ m/s |
| বৃহস্পতি | ২৪.৭৯ m/s² | ১.২৭ s | ৩১.৫ m/s |
বাতাস থাকলে কী হয়: পালক কেন ধীরে পড়ে
বাস্তবে পালক ধীরে পড়ে, কাগজ দুলে দুলে নামে। এর কারণ অভিকর্ষ না, বাতাস। কোনো বস্তু বাতাসের ভেতর দিয়ে চললে বাতাসের কণাগুলো সামনে থেকে ধাক্কা দেয়। এই বাধা বেগ যত বাড়ে তত বাড়ে, আর বস্তুর গায়ের ক্ষেত্রফল যত বড় আর ভর যত কম, তার ওপর প্রভাব তত বেশি।
পড়তে শুরু করলে বাধা প্রায় শূন্য, তাই শুরুতে পালকও প্রায় g ত্বরণে নামে। বেগ বাড়তে থাকলে বাধা বাড়ে, একসময় বাধা আর ওজন সমান হয়ে যায়। তখন লব্ধি বল শূন্য, ত্বরণ শূন্য, বেগ আর বাড়ে না। এই স্থির বেগের নাম প্রান্তিক বেগ। সিমুলেশনের পালকের প্রান্তিক বেগ প্রায় ১.৫ m/s, আর মুদ্রার প্রায় ৪৫ m/s, তাই কয়েক মিটারের পতনে মুদ্রার ওপর বাতাসের প্রভাব প্রায় টেরই পাওয়া যায় না।
বাতাস সরিয়ে দিলে পালক আর মুদ্রা একসাথে পড়ে, এটা শুধু বইয়ের কথা না। আঠারো শতকে বাতাস বের করে নেওয়া কাচের নলে গিনি-মুদ্রা আর পালক একসাথে ফেলার পরীক্ষাটি বিখ্যাত, যাকে “গিনি ও পালকের পরীক্ষা” বলে। আর ১৯৭১ সালে অ্যাপোলো ১৫ মিশনে নভোচারী ডেভিড স্কট চাঁদে দাঁড়িয়ে একটা হাতুড়ি আর একটা পালক একসাথে ছেড়ে দিয়েছিলেন। চাঁদে বাতাস নেই, তাই দুটো একসাথে চাঁদের মাটিতে পড়েছিল, গ্যালিলিওর কথা সত্য প্রমাণ করে।
শক্তির হিসাব: পড়ন্ত বস্তুর বিভব শক্তি কমে কেন
উঁচুতে রাখা বস্তুর মধ্যে বিভব শক্তি জমা থাকে, mgh। পড়তে থাকলে উচ্চতা কমে, তাই বিভব শক্তিও কমে। কিন্তু শক্তি হারিয়ে যায় না; বেগ বাড়ছে বলে গতিশক্তি ½mv² ঠিক ততটুকু বাড়ে। বাধা না থাকলে যেকোনো মুহূর্তে বিভব শক্তি + গতিশক্তি = ধ্রুব। এটাই শক্তির নিত্যতা।
এই হিসাব থেকেও মাটিতে পৌঁছানোর বেগ বের করা যায়: শুরুর mgh পুরোটা শেষে ½mv² হয়, তাই mgh = ½mv², অর্থাৎ v = √(2gh)। দুই পাশ থেকে m কেটে যায়, আবার দেখা গেল বেগ ভরের ওপর নির্ভর করে না। বাতাস থাকলে কিছুটা শক্তি বাতাসকে গরম করতে আর ঠেলতে খরচ হয়, তাই পালক কম বেগে মাটিতে পড়ে।
সিমুলেশনে নিজে পরীক্ষা করো
খাতা-কলম নিয়ে বসো। প্রতিটি পরীক্ষা আগে অনুমান করো, তারপর চালিয়ে মিলিয়ে দেখো।
- উচ্চতা ২০ m রেখে “সূত্রে সময়” পড়ো, তারপর চালিয়ে “মুদ্রা মাটিতে পড়ল” মিলিয়ে দেখো। দুটোই ২.০২ s হওয়ার কথা।
- উচ্চতা ২০ থেকে ৮০ m করো (চারগুণ)। সময় কত গুণ হলো? উত্তর দুই গুণ, কারণ t ∝ √h।
- স্ট্রোব চালু রেখে মুদ্রার পাশের সংখ্যাগুলো পড়ো: ১, ৩, ৫, ৭। এবার বাতাস চালু করে দেখো মুদ্রার সংখ্যা প্রায় একই থাকে।
- v–t লেখচিত্রে বাতাস চালু করে পালকের রেখা দেখো: শুরুতে খাড়া, পরে সমতল হয়ে যায়। সমতল অংশটাই প্রান্তিক বেগ।
- বৃহস্পতি বেছে নাও: সব কিছু এত দ্রুত ঘটে যে গতি ০.২৫× করতে হবে। মঙ্গলে বাতাস চালু করে দেখো, সেখানে বাতাস খুব পাতলা বলে পালকও প্রায় মুদ্রার সাথে পড়ে।
গাণিতিক সমস্যা ও সমাধান
প্রতিটি সমাধানে প্রথমে জানা রাশি লিখব, তারপর সূত্র, তারপর মান বসাব। পরীক্ষাতেও এভাবে লিখলে পুরো নম্বর পাবে। সব ক্ষেত্রে বাতাসের বাধা উপেক্ষা করা হয়েছে।
সমস্যা ১: ২০ মিটার উঁচু থেকে ছেড়ে দেওয়া বস্তু (সিমুলেশনের শুরুর মান)
দেওয়া আছে: h = ২০ m, u = ০, g = ৯.৮ m/s²। নির্ণেয়: মাটিতে পৌঁছাতে সময় t আর বেগ v।
t = √(2h/g) = √(৪০ / ৯.৮) = √৪.০৮ = ২.০২ s। আর v = √(2gh) = ১৯.৮০ m/s। সিমুলেশন খুললে পরিমাপ প্যানেলে ঠিক এই মানগুলোই দেখবে।
সমস্যা ২: ৩ সেকেন্ড পরে বেগ ও দূরত্ব
একটি পাথর ছাদ থেকে ছেড়ে দেওয়া হলো। ৩ s পরে এর বেগ কত, আর ততক্ষণে কত নিচে নেমেছে?
v = gt = ৯.৮ × ৩ = ২৯.৪ m/s। h = ½gt² = ½ × ৯.৮ × ৩² = ৪৪.১ m।
সমস্যা ৩: কুয়ার গভীরতা
একটি কুয়ায় পাথর ফেলার ২.৫ s পরে পানিতে পড়ার শব্দ শোনা গেল (শব্দ পৌঁছানোর সময় উপেক্ষা করো)। পানির তল কত গভীরে?
h = ½gt² = ½ × ৯.৮ × ২.৫² = ৩০.৬২৫ m। পানিতে পড়ার মুহূর্তে বেগ v = gt = ২৪.৫ m/s। বাস্তবে শব্দ উঠে আসতেও একটু সময় লাগে, তাই আসল গভীরতা এর চেয়ে সামান্য কম।
সমস্যা ৪: খাড়া উপরে ছোড়া বল
একটি বল ১৯.৬ m/s বেগে খাড়া উপরে ছোড়া হলো। কত সময়ে সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠবে, সেই উচ্চতা কত, আর কত সময় পরে হাতে ফিরবে?
উপরে ওঠার সময় g বেগ কমায়। সর্বোচ্চ বিন্দুতে v = ০, তাই ০ = u − gt, t = u/g = ১৯.৬ / ৯.৮ = ২ s। সর্বোচ্চ উচ্চতা H = u²/2g = ১৯.৬ m। নামতেও সমান সময় লাগে, তাই মোট ৪ s। নামার পথটা আসলে একটা পড়ন্ত বস্তুর গতি।
সমস্যা ৫: একই পতন চাঁদে
চাঁদে g = ১.৬২ m/s²। ২০ m উঁচু থেকে ছেড়ে দিলে কত সময় লাগবে আর কত বেগে পড়বে?
t = √(2h/g) = ৪.৯৭ s, v = √(2gh) = ৮.০৫ m/s। পৃথিবীর চেয়ে সময় √(৯.৮/১.৬২) = ২.৪৬ গুণ বেশি। সিমুলেশনে “চাঁদ” বেছে মিলিয়ে দেখো।
সমস্যা ৬: তৃতীয় সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব
n-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্বের সূত্র: hₙ = ½g(2n − 1)। এখানে n = ৩, তাই h = ৪.৯ × ৫ = ২৪.৫ m।
তুলনা করো: প্রথম সেকেন্ডে ৪.৯ m, দ্বিতীয় সেকেন্ডে ১৪.৭ m, তৃতীয় সেকেন্ডে ২৪.৫ m। অনুপাত ১ : ৩ : ৫, ঠিক স্ট্রোবের মতো।
সমস্যা ৭: দ্বিতীয় সূত্র দিয়ে বেগ তুলনা
একটি পড়ন্ত বস্তুর ২ s পরে বেগ ১৯.৬ m/s। ৬ s পরে বেগ কত?
দ্বিতীয় সূত্র অনুযায়ী v₂/v₁ = t₂/t₁ = ৬/২ = ৩। তাই v₂ = ৩ × ১৯.৬ = ৫৮.৮ m/s। g না জেনেও উত্তর বের হলো, এটাই অনুপাতের সুবিধা।
সমস্যা ৮: তৃতীয় সূত্র দিয়ে দূরত্ব তুলনা
একটি বস্তু প্রথম ২ s-এ ১৯.৬ m পড়ে। প্রথম ৪ s-এ কত পড়বে?
তৃতীয় সূত্র: h₂/h₁ = (t₂/t₁)² = (৪/২)² = ৪। তাই h₂ = ৪ × ১৯.৬ = ৭৮.৪ m। সময় দ্বিগুণ, দূরত্ব চারগুণ।
সমস্যা ৯: শক্তি থেকে বেগ
২ kg ভরের একটি বস্তু ২০ m উঁচু থেকে ছেড়ে দেওয়া হলো। শুরুতে বিভব শক্তি কত, আর মাটিতে পৌঁছানোর মুহূর্তে বেগ কত?
বিভব শক্তি = mgh = ২ × ৯.৮ × ২০ = ৩৯২ J। মাটিতে এর পুরোটা গতিশক্তি: ½mv² = ৩৯২ J, তাই v = ১৯.৮০ m/s, সমস্যা ১-এর উত্তরের সাথে হুবহু মিলে গেল।
এক নজরে: প্রতি সেকেন্ডে বেগ আর দূরত্ব
g = ৯.৮ m/s² ধরে স্থির অবস্থান থেকে পড়ন্ত বস্তুর হিসাব। শেষ কলামের বেজোড় সংখ্যাগুলো লক্ষ করো।
| সময় | বেগ, v = gt | মোট দূরত্ব, h = ½gt² | ঐ সেকেন্ডে দূরত্ব | অনুপাত |
|---|---|---|---|---|
| ১ s | ৯.৮ m/s | ৪.৯ m | ৪.৯ m | ১ |
| ২ s | ১৯.৬ m/s | ১৯.৬ m | ১৪.৭ m | ৩ |
| ৩ s | ২৯.৪ m/s | ৪৪.১ m | ২৪.৫ m | ৫ |
| ৪ s | ৩৯.২ m/s | ৭৮.৪ m | ৩৪.৩ m | ৭ |
| ৫ s | ৪৯.০ m/s | ১২২.৫ m | ৪৪.১ m | ৯ |
যে ভুলগুলো সবাই করে
এই ভুলগুলো এড়ালে পড়ন্ত বস্তুর অঙ্কে নম্বর কাটার ভয় থাকে না।
- “ভারী বস্তু দ্রুত পড়ে” লেখা। বাধাহীন অবস্থায় সব বস্তু একসাথে পড়ে; পার্থক্য হয় শুধু বাতাসের কারণে।
- সূত্র লিখতে গিয়ে “স্থির অবস্থান থেকে” ও “বিনা বাধায়” শর্ত বাদ দেওয়া।
- উচ্চতা দ্বিগুণ হলে সময় দ্বিগুণ ধরা। আসলে t ∝ √h, তাই সময় √২ গুণ হয়।
- n-তম সেকেন্ডের দূরত্ব আর প্রথম n সেকেন্ডের মোট দূরত্ব গুলিয়ে ফেলা। প্রথমটা ½g(2n − 1), দ্বিতীয়টা ½gn²।
- খাড়া উপরে ছোড়ার সময় চিহ্ন ভুল করা। উপরের দিক ধনাত্মক ধরলে g-এর মান ঋণাত্মক বসবে।
- সর্বোচ্চ বিন্দুতে ত্বরণ শূন্য ভাবা। সেখানে বেগ শূন্য, কিন্তু ত্বরণ তখনও g, নিচের দিকে।
- g-এর একক m/s লেখা। ত্বরণের একক m/s²।
বাস্তব জীবনে পড়ন্ত বস্তু
পড়ন্ত বস্তুর সূত্র শুধু পরীক্ষার জন্য না, চারপাশের অনেক ঘটনার ব্যাখ্যা এখানেই।
- প্যারাস্যুট: ছাতার মতো বিশাল ক্ষেত্রফল বাতাসের বাধা বাড়িয়ে প্রান্তিক বেগ এত কমিয়ে দেয় যে মানুষ নিরাপদে নামতে পারে।
- বৃষ্টির ফোঁটা: কয়েক কিলোমিটার উঁচু থেকে পড়লেও বাতাসের বাধায় প্রান্তিক বেগে পৌঁছে যায়, তাই গুলির মতো আঘাত করে না।
- নির্মাণকাজে হেলমেট: উঁচু থেকে পড়া ছোট স্ক্রুও মাটির কাছে অনেক বেগ পায়, কারণ v = √(2gh)।
- কুয়া বা খাদের গভীরতা আন্দাজ: পাথর ফেলে সময় গুনলেই h = ½gt² দিয়ে হিসাব করা যায়।
- খেলার মাঠ: ক্রিকেট বল লোফার সময় ফিল্ডার আসলে মাথায় পড়ন্ত বস্তুর সূত্র কষে কোথায় দাঁড়াবে ঠিক করে।
- মহাকাশ স্টেশনে ভারহীনতা: স্টেশন আর নভোচারী একসাথে পৃথিবীর দিকে পড়ছে, তাই তারা ভেসে থাকে; এটাও মুক্ত পতন।
পরীক্ষার কর্নার: SSC ও HSC
SSC পদার্থবিজ্ঞানের গতি অংশে আর HSC-র মহাকর্ষ ও অভিকর্ষ অংশে পড়ন্ত বস্তু নিয়মিত আসে। জ্ঞানমূলক প্রশ্নে সূত্রের বিবৃতি, অনুধাবনে “অভিকর্ষজ ত্বরণ ৯.৮ বলতে কী বোঝায়” বা “g বস্তু নিরপেক্ষ কিন্তু স্থান নিরপেক্ষ নয় কেন”, আর প্রয়োগ ও উচ্চতর দক্ষতায় উচ্চতা, সময়, বেগের অঙ্ক থাকে।
একটি নমুনা সৃজনশীল প্রশ্ন
উদ্দীপক: রাফি ২০ m উঁচু ছাদ থেকে একটি মার্বেল আর একটি কাগজের টুকরো একসাথে ছেড়ে দিল। মার্বেল আগে মাটিতে পড়ল।
ক) অভিকর্ষজ ত্বরণ কাকে বলে? খ) পড়ন্ত বস্তুর প্রথম সূত্রটি লেখো। গ) মার্বেলটি কত সময়ে মাটিতে পড়বে নির্ণয় করো। ঘ) “কাগজটি পরে পড়ায় পড়ন্ত বস্তুর প্রথম সূত্র মিথ্যা প্রমাণিত হয়েছে”: উক্তিটির যথার্থতা বিশ্লেষণ করো।
গ-এর উত্তর: t = √(2h/g) = ২.০২ s। ঘ-এর উত্তরের মূল কথা: সূত্রের শর্ত “বিনা বাধায়”; কাগজের ক্ষেত্রফল বেশি আর ভর কম, তাই বাতাসের বাধা তার ওপর বেশি কাজ করেছে। বাতাস না থাকলে দুটো একসাথে পড়ত, যেমন চাঁদে হাতুড়ি আর পালক পড়েছিল। তাই উক্তিটি যথার্থ নয়।
রিভিশন: শেষ মুহূর্তের সারসংক্ষেপ
পরীক্ষার আগের রাতে শুধু এই তালিকা আর উপরের সারণিটা একবার দেখে নিলেই যথেষ্ট।
- পড়ন্ত বস্তু: স্থির অবস্থান থেকে, বিনা বাধায়, শুধু অভিকর্ষের টানে পড়া বস্তু।
- g ≈ ৯.৮ m/s², সব বস্তুর জন্য একই জায়গায় একই; মেরুতে বেশি, বিষুবরেখায় কম।
- ১ম সূত্র: সমান সময়ে সমান পথ। ২য় সূত্র: v ∝ t। ৩য় সূত্র: h ∝ t²।
- সূত্র চারটি: v = gt, h = ½gt², v² = 2gh, t = √(2h/g)।
- সমান সময় পরপর দূরত্বের অনুপাত ১ : ৩ : ৫ : ৭; n-তম সেকেন্ডে ½g(2n − 1)।
- বাতাস থাকলে হালকা ও চওড়া বস্তু প্রান্তিক বেগে পৌঁছায়; বাতাস না থাকলে পালক আর মুদ্রা একসাথে পড়ে।
- পড়ার সময় বিভব শক্তি কমে, গতিশক্তি সমান পরিমাণে বাড়ে।
সচরাচর জিজ্ঞাসা
পড়ন্ত বস্তুর সূত্র কয়টি ও কী কী?
তিনটি। স্থির অবস্থান থেকে বিনা বাধায় পড়লে: (১) একই উচ্চতা থেকে সব বস্তু সমান সময়ে সমান পথ অতিক্রম করে; (২) নির্দিষ্ট সময়ে প্রাপ্ত বেগ সময়ের সমানুপাতিক, v ∝ t; (৩) নির্দিষ্ট সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব সময়ের বর্গের সমানুপাতিক, h ∝ t²।
পড়ন্ত বস্তুর সূত্র কে আবিষ্কার করেন?
ইতালির বিজ্ঞানী গ্যালিলিও গ্যালিলি। তিনি হেলানো তলে বল গড়িয়ে সময় মেপে দেখান যে বাধা না থাকলে সব বস্তু একই হারে পড়ে, যা অ্যারিস্টটলের “ভারী বস্তু দ্রুত পড়ে” ধারণাকে ভুল প্রমাণ করে।
অভিকর্ষজ ত্বরণ ৯.৮ m/s² বলতে কী বোঝায়?
বাধাহীনভাবে পড়ন্ত বস্তুর বেগ প্রতি সেকেন্ডে ৯.৮ মিটার/সেকেন্ড করে বাড়ে। অর্থাৎ ১ সেকেন্ড পরে বেগ ৯.৮ m/s, ২ সেকেন্ড পরে তার দ্বিগুণ, এভাবে।
অভিকর্ষজ ত্বরণ বস্তু নিরপেক্ষ কিন্তু স্থান নিরপেক্ষ নয় কেন?
একই জায়গায় সব বস্তুর জন্য g একই, কারণ ভারী বস্তুর ওপর অভিকর্ষ বল বেশি হলেও তার জড়তাও সমান হারে বেশি। কিন্তু g পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে দূরত্বের ওপর নির্ভর করে, তাই মেরু, বিষুবরেখা, পাহাড়ের চূড়া বা খনিতে এর মান ভিন্ন।
পালক আর মুদ্রা কি সত্যিই একসাথে পড়ে?
হ্যাঁ, বাতাস না থাকলে। বায়ুশূন্য নলে গিনি ও পালকের পরীক্ষায় আর ১৯৭১ সালে চাঁদে অ্যাপোলো ১৫-এর হাতুড়ি-পালক পরীক্ষায় দুটো একসাথে পড়েছে। পৃথিবীতে পালক ধীরে পড়ে শুধু বাতাসের বাধার কারণে।
প্রান্তিক বেগ কাকে বলে?
বাতাসের মধ্য দিয়ে পড়ার সময় যে বেগে বাতাসের বাধা বস্তুর ওজনের সমান হয়ে যায়, সেই বেগকে প্রান্তিক বেগ বলে। তখন লব্ধি বল ও ত্বরণ শূন্য, তাই বস্তু এরপর সমবেগে পড়ে।
পড়ন্ত বস্তুর বিভব শক্তি হ্রাস পায় কেন?
বিভব শক্তি mgh উচ্চতার সমানুপাতিক। পড়ার সময় উচ্চতা কমে, তাই বিভব শক্তি কমে। হারানো শক্তি গতিশক্তি হিসেবে জমা হয়, তাই বেগ বাড়ে; মোট যান্ত্রিক শক্তি ধ্রুব থাকে।
উচ্চতা দ্বিগুণ করলে পড়ার সময় কি দ্বিগুণ হয়?
না। t = √(2h/g), তাই সময় উচ্চতার বর্গমূলের সমানুপাতিক। উচ্চতা দ্বিগুণ হলে সময় √২ বা প্রায় ১.৪১ গুণ হয়, আর উচ্চতা চারগুণ হলে সময় দ্বিগুণ।
সর্বোচ্চ উচ্চতায় বস্তুর ত্বরণ কত?
খাড়া উপরে ছোড়া বস্তুর সর্বোচ্চ বিন্দুতে বেগ শূন্য, কিন্তু ত্বরণ তখনও g = ৯.৮ m/s², নিচের দিকে। ত্বরণ শূন্য হলে বস্তু সেখানেই থেমে থাকত, আর নিচে নামত না।
এই বিষয়ের আরও পড়াশোনা
অ্যানিমেশনে ধারণা পরিষ্কার হলো, এবার পরীক্ষার প্রস্তুতি: সিলেবাস, সাজেশন, বই আর ভর্তি পরীক্ষার গাইড নিচে।
SSC
এসএসসি সাধারণ বিজ্ঞান
SSC
এসএসসি পদার্থবিজ্ঞান: সিলেবাস ও প্রস্তুতি
HSC
এইচএসসি পদার্থবিজ্ঞান: সিলেবাস ও প্রস্তুতি
পাঠ্যবই
নবম-দশম শ্রেণির পদার্থবিজ্ঞান বই
ভর্তি
ইঞ্জিনিয়ারিং ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতি
ভর্তি
ঢাবি বিজ্ঞান ইউনিট ভর্তি ২০২৬-২৭
English
Composition: The Uses of Electricity (ইংরেজিতে)
বাংলা
প্রতিবেদন: বিজ্ঞান মেলা
English
Paragraph: Science in Everyday Life (ইংরেজিতে)
SSC
এসএসসি সাজেশন
HSC
এইচএসসি সাজেশন
ভর্তি
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার গাইড
SSC
এসএসসি সিলেবাস
HSC
এইচএসসি সিলেবাস
আরও পদার্থবিজ্ঞান অ্যানিমেশন
SSC · HSC
আলোর প্রতিসরণ
আলোর প্রতিসরণ কাকে বলে, প্রতিসরণের সূত্র, সংকট কোণ ও পূর্ণ অভ্যন্তরীণ প্রতিফলন — সহজ ভাষায় ব্যাখ্যা, ইন্টারঅ্যাকটিভ অ্যানিমেশন ও গাণিতিক উদাহরণসহ।
SSC · HSC
ওহমের সূত্র
ওহমের সূত্র কাকে বলে, বিবৃতি ও ব্যাখ্যা, V-I লেখচিত্র — বিভব পার্থক্য ও রোধ বদলে তড়িৎ প্রবাহ দেখো। শ্রেণি ও সমান্তরাল সমবায়, গাণিতিক উদাহরণসহ।
HSC
প্রাসের গতি
প্রাস কাকে বলে? কোণ ও আদিবেগ বদলে প্রাসের গতিপথ দেখো — বিচরণকাল, সর্বাধিক উচ্চতা ও আনুভূমিক পাল্লার সূত্র, গাণিতিক উদাহরণসহ।
SSC · HSC
সরল দোলক
সরল দোলক কাকে বলে, দোলনকালের সূত্র T=2π√(L/g) ও দোলকের সূত্রসমূহ — দৈর্ঘ্য বদলে দেখো। অভিকর্ষজ ত্বরণ নির্ণয়ের গাণিতিক উদাহরণসহ।
SSC · HSC
তড়িৎ ক্ষেত্র
তড়িৎ ক্ষেত্র কাকে বলে, তড়িৎ তীব্রতার সূত্র ও একক, বলরেখার বৈশিষ্ট্য — আধান বসিয়ে বলরেখা দেখো। কুলম্বের সূত্রের গাণিতিক উদাহরণসহ।
HSC
তরঙ্গের ব্যতিচার
তরঙ্গের উপরিপাতন নীতি ও ব্যতিচার কাকে বলে, গঠনমূলক ও ধ্বংসাত্মক ব্যতিচারের শর্ত, ডোরার প্রস্থ — দুই উৎস সরিয়ে নিজে দেখো, গাণিতিক উদাহরণসহ।
SSC · HSC
লেন্সে প্রতিবিম্ব গঠন
উত্তল লেন্স ও অবতল লেন্স কাকে বলে, প্রতিবিম্ব কীভাবে গঠিত হয়, লেন্সের সূত্র 1/u + 1/v = 1/f, বিবর্ধন ও লেন্সের ক্ষমতা: বস্তু টেনে সরিয়ে রশ্মি চিত্র নিজে দেখো।
SSC · HSC
নিউটনের গতির সূত্র
নিউটনের গতির তিনটি সূত্র, জড়তা, ভরবেগ, F = ma, ঘাত বল আর ক্রিয়া-প্রতিক্রিয়া: ট্রলি ঠেলে নিজে দেখো, সহজ উদাহরণ, সূত্র ও গাণিতিক সমস্যাসহ (SSC, HSC)।
SSC · HSC
গোলীয় দর্পণে প্রতিবিম্ব গঠন
অবতল দর্পণ ও উত্তল দর্পণ কাকে বলে, মেরু, বক্রতার কেন্দ্র, প্রধান ফোকাস, দর্পণের সূত্র 1/u + 1/v = 1/f ও বিবর্ধন: বস্তু টেনে সরিয়ে প্রতিবিম্ব গঠন নিজে দেখো।
SSC · HSC
তড়িৎচুম্বকীয় আবেশ ও ফ্যারাডের সূত্র
তড়িৎচুম্বকীয় আবেশ কাকে বলে, ফ্যারাডের সূত্র ও লেঞ্জের সূত্র কী বলে: চুম্বক টেনে কুণ্ডলীর ভেতর দিয়ে নিয়ে নিজে দেখো, গ্যালভানোমিটারের কাঁটা কেন দোলে, সূত্র ও অঙ্কসহ।
SSC · HSC
ভরবেগের সংরক্ষণ ও সংঘর্ষ
ভরবেগের সংরক্ষণ সূত্র কী, স্থিতিস্থাপক ও অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের পার্থক্য কী: দুটো গাড়ি সংঘর্ষ করিয়ে নিজে দেখো, পুনরুদ্ধার সহগ e বদলে ভরবেগ ও গতিশক্তির বার-লেখচিত্র মিলিয়ে দেখো, সূত্র ও অঙ্কসহ।
SSC · HSC
কাজ, ক্ষমতা ও শক্তি
কাজ কাকে বলে, গতিশক্তি ও বিভবশক্তির সূত্র কী, ক্ষমতা কীভাবে মাপা হয়: গড়িয়ে পড়া কার্টের সিমুলেশনে শক্তির রূপান্তর নিজে দেখো, সূত্র ও গাণিতিক সমস্যাসহ।
SSC · HSC
নততল
নততলে ওজন কীভাবে দুই উপাংশে ভাগ হয়, স্থিতি কোণ কী, ঘর্ষণ কীভাবে ব্লককে ধরে রাখে বা পিছলে দেয়: কোণ বদলে ব্লক নিজে ছেড়ে দিয়ে বল-চিত্র ও সূত্র দেখো।
অন্য বিষয়ের অ্যানিমেশন
রসায়ন
পরমাণুর গঠন
রসায়ন
এসিড, ক্ষারক ও pH স্কেল
রসায়ন
ইলেকট্রন বিন্যাস
রসায়ন
গ্যাসের সূত্র: বয়েল, চার্লস ও আদর্শ গ্যাস সমীকরণ
রসায়ন
আয়নিক বন্ধন কীভাবে গঠিত হয়
রসায়ন
তড়িৎ বিশ্লেষণ ও ফ্যারাডের সূত্র
রসায়ন
সমযোজী বন্ধন
রসায়ন
পর্যায়বৃত্ত ধর্ম
জীববিজ্ঞান
মাইটোসিস কোষ বিভাজন
জীববিজ্ঞান
ব্যাপন ও অভিস্রবণ
জীববিজ্ঞান
সালোকসংশ্লেষণ
জীববিজ্ঞান
মানব হৃৎপিণ্ডের গঠন ও কাজ
জীববিজ্ঞান
মেন্ডেলের বংশগতি সূত্র
জীববিজ্ঞান
ডিএনএ রেপ্লিকেশন
জীববিজ্ঞান
কোষীয় শ্বসন
জীববিজ্ঞান
এনজাইম ক্রিয়া
জীববিজ্ঞান
স্নায়ু উদ্দীপনার পরিবহন ও অ্যাকশন পটেনশিয়াল
জীববিজ্ঞান
নেফ্রন ও মূত্র তৈরির প্রক্রিয়া
জীববিজ্ঞান
মিয়োসিস কোষ বিভাজন
জীববিজ্ঞান
পরিপাকতন্ত্র
গণিত
পিথাগোরাসের উপপাদ্য
গণিত
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও একক বৃত্ত
গণিত
দ্বিঘাত সমীকরণ ও দ্বিঘাত ফাংশনের লেখচিত্র
গণিত
বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য
গণিত
দূরত্ব ও উচ্চতা: উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ
গণিত
সম্ভাবনা: পরীক্ষালব্ধ বনাম তাত্ত্বিক সম্ভাবনা
গণিত
সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা
গণিত