দ্বিঘাত সমীকরণ: a, b, c বদলাও আর পরাবৃত্তকে নড়তে দেখো

সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে

1. কিছু না ছুঁয়ে আগে দেখো: পর্দায় আছে x² − ২x − ৩। পরাবৃত্ত x-অক্ষকে −১ ও ৩ বিন্দুতে কাটছে, সবুজ বিন্দু দুটিই মূল।
2. a-এর স্লাইডার বাঁদিকে টেনে ঋণাত্মক করো: পরাবৃত্তের মুখ উল্টে নিচের দিকে হয়ে যায়। একদম ০-তে আনলে লেখচিত্র সরলরেখা হয়ে যায়।
3. c বাড়িয়ে পরাবৃত্তটাকে উপরে তোলো আর পরিমাপ প্যানেলে নিশ্চায়ক D দেখো: x-অক্ষ ছোঁয়ার মুহূর্তে D = ০, আর উপরে উঠে গেলে D ঋণাত্মক, বাস্তব মূল নেই।
4. কমলা শীর্ষবিন্দুটি আঙুল বা মাউস দিয়ে টেনে সরাও, অথবা “শীর্ষবিন্দু রূপ” বেছে h ও k স্লাইডার দিয়ে সরাও। প্রতিসাম্য অক্ষও সাথে সাথে সরে যায়।
5. “বর্গপূর্ণকরণ ধাপে ধাপে দেখাও” চালু রাখো: নিচে তোমার বেছে নেওয়া সংখ্যা দিয়েই পাঁচটি ধাপ একে একে আসে, শেষ ধাপে শীর্ষবিন্দু রূপ।
6. “উৎপাদক রূপ” বেছে α ও β স্লাইডার দিয়ে মূল দুটি সরাসরি বসাও, তারপর পরিমাপে মূলদ্বয়ের যোগফল −b/a আর গুণফল c/a মিলিয়ে দেখো।

বল ছুড়ে মারো, ঝরনার পানি দেখো: সবখানেই একটা বাঁকা পথ

মাঠে দাঁড়িয়ে একটা ক্রিকেট বল উপরের দিকে একটু সামনে ছুড়ে দাও। বলটা উঠতে উঠতে ধীর হয়, একটা সর্বোচ্চ বিন্দুতে গিয়ে এক মুহূর্ত থামে, তারপর আবার নেমে আসে। পুরো পথটা আঁকলে দেখবে একটা সুন্দর উল্টো U-এর মতো আকার। গণিতে এই আকারের নাম পরাবৃত্ত, আর এই পরাবৃত্তের পেছনের সমীকরণটাই দ্বিঘাত সমীকরণ।

পার্কের ঝরনার পানির ধারা, বাসার ছাদে বসানো ডিশ অ্যান্টেনার বাটি, টর্চের ভেতরের আয়না, কিছু সেতুর ধনুকের মতো বাঁক: সবগুলো একই পরিবারের সদস্য। এরা সবাই y = ax² + bx + c ধরনের একটি সম্পর্ক মেনে চলে।

দোকানদারও না জেনে এই গণিত ব্যবহার করেন। দাম খুব কম রাখলে লাভ কম, দাম খুব বেশি রাখলে ক্রেতা আসে না, লাভ আবার কম। মাঝখানে কোথাও একটা দাম আছে যেখানে লাভ সবচেয়ে বেশি। লাভ বনাম দামের লেখচিত্রও একটা পরাবৃত্ত, আর সবচেয়ে বেশি লাভের দামটা হলো সেই পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু।

এই পাতায় তুমি উপরের সিমুলেশনে a, b, c বদলে নিজের চোখে দেখবে কীভাবে পরাবৃত্ত নড়ে, কখন x-অক্ষকে দুই জায়গায় কাটে, কখন শুধু ছুঁয়ে যায় আর কখন একেবারেই ছোঁয় না। তারপর শিখবে সমীকরণটা তিনভাবে সমাধান করতে, আর SSC-HSC পরীক্ষার ধরনে অনেকগুলো অঙ্ক কষবে।

একদম শুরু থেকে: দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে

“ঘাত” মানে একটা চলক কতবার নিজের সাথে গুণ হয়েছে। x হলো এক ঘাত, x² দুই ঘাত, x³ তিন ঘাত। কোনো সমীকরণে চলকের সবচেয়ে বড় ঘাত যদি ২ হয়, তাহলে তাকে দ্বিঘাত সমীকরণ বলে। “দ্বি” মানে দুই। যেমন x² − ৫x + ৬ = ০ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, কারণ এখানে সবচেয়ে বড় ঘাত x²।

এক চলকবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ হলো ax² + bx + c = 0। এখানে a হলো x²-এর সহগ, b হলো x-এর সহগ আর c হলো ধ্রুবক পদ। a, b, c বাস্তব সংখ্যা, আর একটা শর্ত খুব জরুরি: a ≠ 0। কারণ a = 0 হলে x² পদটাই হারিয়ে যায়, সমীকরণটা হয়ে যায় bx + c = 0, যা একটা সরল (একঘাত) সমীকরণ।

b বা c শূন্য হতে পারে, তাতে সমস্যা নেই। x² − 9 = 0 (এখানে b = 0) এবং x² − 4x = 0 (এখানে c = 0) দুটোই দ্বিঘাত সমীকরণ। শুধু a শূন্য হতে পারে না। সিমুলেশনে a-এর স্লাইডার ০-তে আনলে দেখবে পরাবৃত্ত সোজা হয়ে সরলরেখা হয়ে গেছে, আর উপরে লেখা উঠবে যে এটা আর দ্বিঘাত নয়।

সমীকরণ আর ফাংশনের পার্থক্যটাও বুঝে নাও। ax² + bx + c = 0 একটা সমীকরণ: এটা একটা প্রশ্ন, “x-এর কোন মানে বাম পক্ষ শূন্য হয়?” আর y = ax² + bx + c একটা ফাংশন: প্রতিটি x-এর জন্য একটা করে y দেয়। ফাংশনের লেখচিত্র আঁকলে যে পরাবৃত্ত পাই, সেটা x-অক্ষকে (যেখানে y = 0) যেসব বিন্দুতে ছেদ করে, সেই x-গুলোই সমীকরণের মূল।

মূল বা সমাধান মানে এমন সংখ্যা যা x-এর জায়গায় বসালে সমীকরণ সত্য হয়। একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সর্বোচ্চ দুটি মূল থাকে। কখনো দুটি আলাদা মূল, কখনো দুটি মূল সমান (মানে আসলে একটাই মান), আর কখনো কোনো বাস্তব মূলই থাকে না। কোনটা হবে, সেটা বলে দেয় নিশ্চায়ক, একটু পরেই সেটা শিখবে।

দরকারি শব্দগুলো এক জায়গায়

সৃজনশীলের জ্ঞানমূলক প্রশ্ন সাধারণত এই শব্দগুলোর সংজ্ঞা থেকেই আসে, তাই টেবিলটা ভালো করে দেখে নাও।

প্রথম পদ্ধতি: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান

SSC গণিতে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের প্রথম আর সবচেয়ে দ্রুত পদ্ধতি হলো উৎপাদকে বিশ্লেষণ। মূল ধারণাটা খুব সহজ: দুটি সংখ্যার গুণফল শূন্য হলে অন্তত একটি সংখ্যা অবশ্যই শূন্য। 3 × 0 = 0, 0 × 7 = 0, কিন্তু 3 × 7 কখনো শূন্য নয়।

তাই যদি ax² + bx + c-কে দুটি একঘাত রাশির গুণফল হিসেবে লিখতে পারো, যেমন (x − p)(x − q) = 0, তাহলে হয় x − p = 0 নয়তো x − q = 0। মানে x = p অথবা x = q। দ্বিঘাত সমীকরণটা ভেঙে দুটো ছোট সরল সমীকরণ হয়ে গেল।

a = 1 হলে উৎপাদক খোঁজার কৌশল: এমন দুটি সংখ্যা খোঁজো যাদের গুণফল c আর যোগফল b। তারপর মাঝের পদ bx-কে ওই দুই সংখ্যা দিয়ে ভেঙে লেখো (মধ্যপদ বিভাজন)। a ≠ 1 হলে গুণফল হবে a × c, যোগফল b।

এই পদ্ধতির সীমাবদ্ধতাও আছে। মূল যদি ভগ্নাংশ বা অমূলদ হয় (যেমন 2 + √3), তাহলে পূর্ণসংখ্যার উৎপাদক খুঁজে পাবে না। তখন বর্গপূর্ণকরণ বা সূত্র লাগবে। সিমুলেশনের “উৎপাদক রূপ” তাই শুধু বাস্তব মূল থাকলেই কাজ করে।

দ্বিতীয় পদ্ধতি: বর্গপূর্ণকরণ

বর্গপূর্ণকরণ মানে সমীকরণটাকে এমনভাবে সাজানো যাতে এক পাশে একটা পূর্ণবর্গ (x + p)² থাকে। কেন? কারণ (x + p)² = r হলে সহজেই বর্গমূল নিয়ে x + p = ±√r লেখা যায়, তারপর x বের করা এক লাইনের কাজ।

মূল কৌশলটা এসেছে (x + p)² = x² + 2px + p² সূত্র থেকে। খেয়াল করো, x-এর সহগ 2p, আর শেষ পদ p²। মানে x-এর সহগের অর্ধেক নিয়ে বর্গ করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, সেটা যোগ করলেই পূর্ণবর্গ তৈরি হয়। x² + 6x-এর সাথে (6/2)² = 9 যোগ করলে পাই x² + 6x + 9 = (x + 3)²।

ধাপগুলো সবসময় এক: (১) a দিয়ে পুরো সমীকরণ ভাগ করো যাতে x²-এর সহগ ১ হয়; (২) ধ্রুবক পদটা ডান পাশে পাঠাও; (৩) দুই পাশে (x-এর সহগের অর্ধেক)² যোগ করো; (৪) বাম পাশকে (x + p)² আকারে লেখো; (৫) বর্গমূল নাও, মনে রেখে ± চিহ্ন দিতে হবে।

এই পদ্ধতি সব দ্বিঘাত সমীকরণেই কাজ করে, উৎপাদক পাওয়া যাক বা না যাক। আর এর চেয়েও বড় কথা, এটাই দ্বিঘাত সূত্রের জন্মস্থান। সাধারণ ax² + bx + c = 0-এ ঠিক এই ধাপগুলো চালালেই শ্রীধর আচার্যের সূত্র বেরিয়ে আসে। সিমুলেশনের নিচে তোমার বেছে নেওয়া সংখ্যা দিয়েই ধাপগুলো একে একে দেখানো হয়।

তৃতীয় পদ্ধতি: দ্বিঘাত সূত্র প্রমাণসহ (শ্রীধর আচার্যের সূত্র)

ভারতীয় গণিতবিদ শ্রীধর আচার্য (আনুমানিক ৮৭০–৯৩০ খ্রিস্টাব্দ) বর্গপূর্ণকরণের ধারণা দিয়ে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের নিয়ম দিয়েছিলেন, তাই আমাদের পাঠ্যবইয়ে সূত্রটিকে শ্রীধর আচার্যের সূত্র বলা হয়। নিচে সাধারণ সমীকরণ ax² + bx + c = 0-এ বর্গপূর্ণকরণ চালিয়ে সূত্রটি প্রমাণ করা হলো। প্রতিটা লাইন আগের লাইন থেকে আসে, মুখস্থ না করে বুঝে নাও।

প্রথম লাইনে a দিয়ে ভাগ করা হয়েছে (a ≠ 0 বলেই ভাগ করা যায়)। দ্বিতীয় লাইনে c/a ডান পাশে গেছে। তৃতীয় লাইনে দুই পাশে (b/2a)² যোগ করা হয়েছে, কারণ x-এর সহগ b/a-এর অর্ধেক হলো b/2a। চতুর্থ লাইনে বাম পাশ পূর্ণবর্গ হয়েছে আর ডান পাশকে এক হর 4a²-এর নিচে আনা হয়েছে।

শেষে দুই পাশের বর্গমূল নিলে ± চিহ্ন আসে, কারণ একটা ধনাত্মক সংখ্যার দুটি বর্গমূল থাকে (যেমন 9-এর বর্গমূল +3 এবং −3)। তারপর b/2a ডান পাশে পাঠালেই সূত্র। খেয়াল করো, বর্গমূলের নিচের রাশি b² − 4ac, এটাই নিশ্চায়ক। এটা ঋণাত্মক হলে বর্গমূল বাস্তব সংখ্যা হয় না, তাই তখন বাস্তব মূলও থাকে না।

নিশ্চায়ক: না কষেই মূলের প্রকৃতি বলে দেওয়া

সূত্রের বর্গমূলের নিচের রাশি b² − 4ac-কে নিশ্চায়ক বলে, লেখা হয় D দিয়ে। নামটা খুব মানানসই: এটা নিশ্চিত করে দেয় মূল কেমন হবে। পুরো সমাধান না করেই শুধু D-এর চিহ্ন দেখে বলা যায় মূল কয়টি আর কী ধরনের।

D > 0 হলে √D একটা ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা, তাই + আর − দিয়ে দুটি আলাদা বাস্তব মূল পাই। লেখচিত্রে পরাবৃত্ত x-অক্ষকে দুটি আলাদা বিন্দুতে ছেদ করে। D যদি আবার পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় (যেমন 16, 25) আর a, b, c মূলদ হয়, তাহলে মূল দুটিও মূলদ, মানে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাবে। পূর্ণবর্গ না হলে মূল দুটি অমূলদ।

D = 0 হলে √D = 0, তাই + আর − একই উত্তর দেয়: x = −b/2a। বলা হয় মূল দুটি বাস্তব ও সমান। লেখচিত্রে পরাবৃত্ত x-অক্ষকে ঠিক শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শ করে, কাটে না।

D < 0 হলে ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল লাগে, যা বাস্তব সংখ্যা নয়। তাই কোনো বাস্তব মূল নেই, পরাবৃত্ত x-অক্ষকে ছোঁয়ই না। SSC-তে এটুকু বললেই যথেষ্ট। HSC উচ্চতর গণিতে জটিল সংখ্যা শেখার পর বলা হয় মূল দুটি জটিল (অবাস্তব) ও পরস্পর অনুবন্ধী।

মূল ও সহগের সম্পর্ক: যোগফল আর গুণফল

ax² + bx + c = 0-এর মূল দুটি α ও β হলে, সূত্র থেকে দুটি মূল যোগ করলে ± অংশ কেটে যায়, থাকে α + β = −b/a। আর গুণ করলে (a + b)(a − b) = a² − b² সূত্রে পাই αβ = c/a। এই দুটি সম্পর্ক SSC উচ্চতর গণিত ও HSC-তে খুব ঘন ঘন আসে।

এর সুবিধা হলো মূল দুটি আলাদা করে বের না করেই তাদের নিয়ে অনেক প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যায়। যেমন α² + β² = (α + β)² − 2αβ, অথবা 1/α + 1/β = (α + β)/αβ। মূল অমূলদ হলে এই পথে হিসাব অনেক সহজ হয়।

উল্টো দিকেও কাজ হয়। মূল দুটি জানা থাকলে সমীকরণ গঠন করা যায়: x² − (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0। কারণ (x − α)(x − β) গুণ করলে ঠিক x² − (α + β)x + αβ পাওয়া যায়।

লেখচিত্র: পরাবৃত্ত, শীর্ষবিন্দু আর প্রতিসাম্য অক্ষ

y = ax² + bx + c-এর লেখচিত্র সবসময় একটি পরাবৃত্ত। a > 0 হলে এর মুখ উপরের দিকে (U আকৃতি), তখন শীর্ষবিন্দু হলো সর্বনিম্ন বিন্দু, আর ফাংশনের একটা ক্ষুদ্রতম মান থাকে। a < 0 হলে মুখ নিচের দিকে (উল্টো U), শীর্ষবিন্দু সর্বোচ্চ বিন্দু, আর ফাংশনের একটা বৃহত্তম মান থাকে।

|a| যত বড়, পরাবৃত্ত তত সরু আর খাড়া; |a| যত ছোট, তত চওড়া আর চ্যাপ্টা। সিমুলেশনে a-কে ৩ থেকে ০.৫-এ নামিয়ে দেখো, পরাবৃত্ত কেমন ছড়িয়ে যায়।

শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (h, k), যেখানে h = −b/2a আর k = c − b²/4a (অথবা x = h বসিয়ে y বের করো)। শীর্ষবিন্দু দিয়ে যাওয়া খাড়া রেখা x = h হলো প্রতিসাম্য অক্ষ। এই রেখা বরাবর ভাঁজ করলে পরাবৃত্তের দুই বাহু ঠিক মিলে যায়। তাই দুটি মূল থাকলে তারা অক্ষ থেকে সমান দূরে থাকে, আর h হলো মূল দুটির গড়।

বর্গপূর্ণকরণ করে লেখা y = a(x − h)² + k রূপটিকে শীর্ষবিন্দু রূপ বলে। (x − h)² কখনো ঋণাত্মক হয় না, তাই a > 0 হলে y-এর মান সবচেয়ে কম হয় যখন x = h, আর সেই মান k। এক নজরে শীর্ষবিন্দু পড়ে ফেলার এটাই সবচেয়ে সহজ রূপ।

b-এর প্রভাব একটু মজার: b বদলালে শীর্ষবিন্দু একটা বাঁকা পথে সরে, পুরো পরাবৃত্ত পাশে সরে না। আর c সবসময় y-অক্ষের ছেদবিন্দু, কারণ x = 0 বসালে y = c। শুরুর লেখচিত্রে এটা (০, −৩)।

সিমুলেশনে নিজে করে দেখো

প্রতিটি পরীক্ষা এক-দুই মিনিটের। আগে অনুমান করো কী হবে, তারপর মিলিয়ে দেখো।

সমাধানকৃত উদাহরণ (সব সংখ্যা হিসাব করে বসানো)

নিচের প্রতিটি অঙ্ক পরীক্ষার ধাপ মেনে সাজানো। প্রথমটা সিমুলেশনের শুরুর লেখচিত্র, তাই পর্দার পরিমাপের সাথে মিলিয়ে দেখতে পারবে।

যে ভুলগুলো সবাই করে

এই ভুলগুলোতে পরীক্ষায় অনেক নম্বর কাটা যায়, তাই আগে থেকেই সাবধান হও।

• সূত্রে −b লিখতে গিয়ে চিহ্ন ভুল করা: b = −২ হলে −b = +২, −২ নয়।
• b² − 4ac হিসাবের সময় c ঋণাত্মক হলে −4ac যে যোগ হয়ে যায়, সেটা ভুলে যাওয়া।
• বর্গমূল নেওয়ার সময় ± না দিয়ে শুধু ধনাত্মক মূল লেখা, ফলে একটা মূল হারিয়ে যায়।
• সূত্রে পুরো লবকে 2a দিয়ে ভাগ না করে শুধু √ অংশকে ভাগ করা।
• x² = 5x-এর দুই পাশ x দিয়ে ভাগ করে ফেলা: এতে x = ০ মূলটা হারিয়ে যায়। বরং x(x − 5) = ০ লেখো।
• সমীকরণকে আগে ax² + bx + c = 0 আকারে না এনেই a, b, c পড়ে ফেলা।
• বাস্তব সমস্যায় অর্থহীন মূল (ঋণাত্মক দৈর্ঘ্য, ঋণাত্মক সময়) বাদ না দেওয়া।
• শীর্ষবিন্দুর x-কে b/2a লেখা, আসলে −b/2a।

বাস্তব জীবনে দ্বিঘাত সমীকরণ

পরাবৃত্ত আর দ্বিঘাত সমীকরণ আমাদের চারপাশে লুকিয়ে আছে:

• ক্রিকেট বল, ফুটবলের কিক বা ছোড়া পাথরের পথ: বাতাসের বাধা বাদ দিলে এটা পরাবৃত্ত।
• ডিশ অ্যান্টেনা ও টর্চের আয়না পরাবৃত্তাকার, কারণ পরাবৃত্ত সমান্তরাল রশ্মিকে এক বিন্দুতে (ফোকাসে) জড়ো করে।
• ব্যবসায় সর্বোচ্চ লাভ বা সর্বনিম্ন খরচের হিসাব: লেখচিত্রের শীর্ষবিন্দু।
• জমি, ঘর বা ফ্রেমের দৈর্ঘ্য-প্রস্থ ক্ষেত্রফল থেকে বের করা।
• গাড়ির ব্রেক কষার দূরত্ব গতির বর্গের সাথে বাড়ে, তাই দ্বিগুণ গতিতে প্রায় চারগুণ দূরত্ব লাগে।
• ঝুলন্ত সেতুর তার ও কিছু খিলানের আকার প্রায় পরাবৃত্ত।

পরীক্ষার কর্নার: SSC ও HSC

SSC গণিতে দ্বিঘাত সমীকরণ আসে উৎপাদকে বিশ্লেষণ আর বাস্তব সমস্যা (ক্ষেত্রফল, বয়স, সংখ্যা) হিসেবে। SSC উচ্চতর গণিতে আসে শ্রীধর আচার্যের সূত্র, নিশ্চায়ক আর মূলের প্রকৃতি। HSC উচ্চতর গণিতের বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ অধ্যায়ে মূল-সহগ সম্পর্ক, জটিল মূল আর সমীকরণ গঠন আরও গভীরে পড়ানো হয়।

সৃজনশীলে সাধারণত একটা উদ্দীপকে সমীকরণ বা একটা বাস্তব ঘটনা দেওয়া থাকে। (ক) অংশে নিশ্চায়ক বের করা বা মূলের প্রকৃতি বলা, (খ) অংশে সমাধান বা সমান মূলের শর্ত থেকে অজানা মান বের করা, (গ) অংশে মূল-সহগ সম্পর্ক দিয়ে নতুন সমীকরণ গঠন বা লেখচিত্র আঁকা আসে।

বহুনির্বাচনিতে দ্রুত উত্তরের জন্য মনে রাখো: মূলদ্বয়ের যোগফল −b/a, গুণফল c/a; D = ০ মানে সমান মূল; a ও c বিপরীত চিহ্নের হলে D অবশ্যই ধনাত্মক (কারণ −4ac তখন ধনাত্মক), তাই দুটি বাস্তব মূল নিশ্চিত।

এক পাতায় রিভিশন

পরীক্ষার আগের রাতে শুধু এটুকু দেখে নাও:

• আদর্শ রূপ: ax² + bx + c = 0, শর্ত a ≠ 0।
• তিন পদ্ধতি: উৎপাদকে বিশ্লেষণ, বর্গপূর্ণকরণ, সূত্র।
• সূত্র: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a।
• নিশ্চায়ক D = b² − 4ac: > ০ দুটি বাস্তব, = ০ সমান, < ০ বাস্তব মূল নেই।
• α + β = −b/a, αβ = c/a; সমীকরণ গঠন x² − (α + β)x + αβ = 0।
• লেখচিত্র পরাবৃত্ত; a > ০ মুখ উপরে, a < ০ মুখ নিচে।
• শীর্ষবিন্দু (−b/2a, c − b²/4a); প্রতিসাম্য অক্ষ x = −b/2a; y-ছেদবিন্দু (০, c)।
• শীর্ষবিন্দু রূপ y = a(x − h)² + k।

সচরাচর জিজ্ঞাসা