বৃত্তের উপরের বিন্দুগুলো টেনে সরাও; ▶ চাপলে একটি বিন্দু নিজে নিজে ঘুরবে
নিয়ন্ত্রণ
কোন উপপাদ্য দেখবে
পরিমাপ
- ∠ACB
- ৬০.০°
- ∠AOB
- ১২০.০°
- 2 × ∠ACB
- ১২০.০°
- যাচাই: ∠AOB = 2∠ACB
- ✓ মিলেছে
- ব্যাসার্ধ, r
- ৫.০০
সিমুলেশনটি কীভাবে ব্যবহার করবে
- উপরের “কোন উপপাদ্য দেখবে” থেকে সাতটির যেকোনো একটি বেছে নাও; লিজেন্ডের প্রথম লাইনে সেই উপপাদ্যের বিবৃতি দেখাবে।
- বৃত্তের উপর লাল বিন্দুগুলো আঙুল বা মাউস দিয়ে টেনে সরাও। মাউস ছাড়া কাজ করতে চাইলে “বিন্দুর অবস্থান” স্লাইডারগুলো কিবোর্ডের তীরচিহ্ন দিয়ে বদলাও।
- ▶ চাপলে একটি বিন্দু নিজে নিজে বৃত্তের উপর দিয়ে চলতে থাকে। পরিমাপ প্যানেলে কোণগুলো বদলায়, কিন্তু “যাচাই” সারিতে ✓ মিলেছে লেখাটা একবারও নড়ে না: এটাই উপপাদ্য।
- “প্রমাণের সহায়ক রেখা দেখাও” চালু করো: পাঠ্যবইয়ের অঙ্কনে যে রেখাগুলো টানতে হয় (যেমন C থেকে কেন্দ্র দিয়ে ব্যাস, বা OA ও OB ব্যাসার্ধ) সেগুলো ধূসর ড্যাশ রেখায় দেখা যাবে।
- ব্যাসার্ধ স্লাইডার বদলালে ছবির আকার একই থাকে, কিন্তু দৈর্ঘ্যের সংখ্যাগুলো বদলায়; কোণ কখনো বদলায় না। স্পর্শক মোডে P বিন্দু টেনে বা স্লাইডারে d বদলে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য √(d² − r²) মিলিয়ে দেখো।
চুড়ি, ঘড়ি আর সাইকেলের চাকা: বৃত্তের জ্যামিতি আমাদের চারপাশে
হাতের চুড়ি, দেয়ালঘড়ি, সাইকেলের চাকা, রুটি বেলার পরে গোল রুটি, পুকুরে ঢিল ছুড়লে তৈরি হওয়া ঢেউ: সবই বৃত্ত। বৃত্তের একটা অদ্ভুত গুণ আছে। এর উপর যেখানেই দাঁড়াও না কেন, কেন্দ্র থেকে তোমার দূরত্ব একই। এই একটি গুণ থেকেই কোণ আর দৈর্ঘ্যের এত সুন্দর সব নিয়ম বের হয়ে আসে যে জ্যামিতির একটা পুরো অধ্যায় শুধু এগুলো নিয়ে।
একটা খেলার কথা ভাবো। ফুটবল মাঠের গোলপোস্ট দুটো বৃত্তের উপর দুটো বিন্দু। তুমি যদি এমন একটা বৃত্তের উপর দিয়ে দৌড়াও যেটা দুই পোস্ট দিয়ে যায়, তাহলে যেখান থেকেই শট নাও, দুই পোস্টের মাঝের কোণটা একই থাকবে। মাঠের কোথা থেকে গোলমুখ “বড়” দেখায় তা বের করতে ফুটবল বিশ্লেষকরাও এই নিয়ম কাজে লাগান। এটাই “একই বৃত্তাংশস্থ কোণ সমান” উপপাদ্য।
এই পাতায় সাতটি উপপাদ্য আছে, আর প্রতিটির জন্য সিমুলেশনে আলাদা ছবি। বিন্দু টেনে যতই বদলাও, মাপা কোণ আর দৈর্ঘ্য বদলায়, কিন্তু উপপাদ্যের সম্পর্কটা বদলায় না। মুখস্থ না করে চোখের সামনে সত্যিটা দেখলে পরীক্ষার খাতায় প্রমাণ লেখাও অনেক সহজ হয়ে যায়।
বৃত্তের ভাষা: কেন্দ্র থেকে স্পর্শক পর্যন্ত সব শব্দ
উপপাদ্য বোঝার আগে শব্দগুলো পরিষ্কার থাকা দরকার, কারণ প্রশ্নে একটা শব্দ ভুল বুঝলে পুরো অঙ্ক ভুল হয়। নিচের সারণিতে প্রতিটি শব্দের সহজ মানে আর সিমুলেশনে কোথায় দেখবে তা দেওয়া হলো।
মনে রাখো, “জ্যা” আর “চাপ” এক জিনিস না। জ্যা হলো দুই বিন্দুর মধ্যে সোজা রেখাংশ, আর চাপ হলো বৃত্তের বাঁকা অংশ। একটা জ্যা বৃত্তকে দুই ভাগ করে; প্রতিটা ভাগকে বলে বৃত্তাংশ। বড় ভাগটা অধিচাপসহ বৃত্তাংশ (major segment), ছোটটা উপচাপসহ বৃত্তাংশ (minor segment)। আর বৃত্তকলা (sector) হলো দুই ব্যাসার্ধ আর একটা চাপ দিয়ে ঘেরা, অনেকটা পিৎজার এক টুকরোর মতো।
| শব্দ | সহজ মানে | সিমুলেশনে কোথায় |
|---|---|---|
| বৃত্ত | একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে থাকা সব বিন্দুর সেট | গাঢ় গোল রেখা |
| কেন্দ্র (O) | সেই নির্দিষ্ট বিন্দু | মাঝের বিন্দু O |
| ব্যাসার্ধ (r) | কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব | ব্যাসার্ধ স্লাইডার, OA, OB |
| জ্যা | বৃত্তের দুই বিন্দু যোগ করা রেখাংশ | AB রেখা |
| ব্যাস | কেন্দ্রগামী জ্যা, দৈর্ঘ্য 2r; সবচেয়ে বড় জ্যা | অর্ধবৃত্তস্থ কোণ মোডে AB |
| চাপ | বৃত্তের পরিধির একটি অংশ | কেন্দ্রস্থ কোণ মোডে মোটা নীল বাঁকা অংশ |
| বৃত্তাংশ | একটি জ্যা আর একটি চাপ দিয়ে ঘেরা অংশ | একই বৃত্তাংশ মোডে হালকা রঙ করা অংশ |
| বৃত্তকলা | দুই ব্যাসার্ধ আর তাদের মাঝের চাপ দিয়ে ঘেরা অংশ | OA, OB আর চাপ AB |
| কেন্দ্রস্থ কোণ | যে কোণের শীর্ষ কেন্দ্রে, বাহু দুটি ব্যাসার্ধ | ∠AOB |
| বৃত্তস্থ কোণ | যে কোণের শীর্ষ বৃত্তের উপর, বাহু দুটি জ্যা | ∠ACB |
| অর্ধবৃত্তস্থ কোণ | ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুতে তৈরি কোণ | অর্ধবৃত্তস্থ কোণ মোডে ∠ACB |
| বৃত্তীয় চতুর্ভুজ | যে চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষই একই বৃত্তের উপর | বৃত্তীয় চতুর্ভুজ মোডে ABCD |
| ছেদক | যে সরলরেখা বৃত্তকে দুই বিন্দুতে ছেদ করে | জ্যা AB-কে দুই দিকে বাড়ালে |
| স্পর্শক | যে সরলরেখা বৃত্তকে ঠিক একটি বিন্দুতে ছোঁয় | স্পর্শক মোডে PT₁, PT₂ |
| স্পর্শবিন্দু | স্পর্শক যে বিন্দুতে বৃত্তকে ছোঁয় | T₁, T₂ |
উপপাদ্য ১: কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ
সিমুলেশন শুরু হয় এই উপপাদ্য দিয়ে। শুরুর ছবিতে ব্যাসার্ধ ৫, আর চাপ AB-এর উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB = ১২০°, বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB = ৬০°। C বিন্দুটা বৃত্তের উপর যেদিকেই সরাও, যতক্ষণ সে চাপ AB-এর বাইরে থাকে, ∠ACB একই থাকে আর ∠AOB সবসময় তার ঠিক দ্বিগুণ।
A আর B-কে সরিয়ে চাপটা বড় করে দেখো। একসময় ∠AOB ১৮০°-এর বেশি হয়ে যায়, তখন তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ (reflex angle) বলে। তখনো সম্পর্কটা সত্য: ∠ACB তখন স্থূলকোণ, আর তার দ্বিগুণ ঠিক প্রবৃদ্ধ কোণটার সমান।
প্রতিজ্ঞা
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
বিশেষ নির্বচন (উপপাদ্য ১)
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তে একই চাপ AB-এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB এবং কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠AOB = 2∠ACB।
অঙ্কন
C, O যোগ করে CO-কে বর্ধিত করি, যেন তা বৃত্তকে D বিন্দুতে ছেদ করে। (সিমুলেশনে “সহায়ক রেখা” চালু করলে এই CD রেখাটাই দেখা যায়।)
প্রমাণ (উপপাদ্য ১)
ধাপ ১: ΔAOC-এ OA = OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]। সুতরাং ∠OAC = ∠OCA [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমিসংলগ্ন কোণদ্বয় সমান]।
ধাপ ২: ΔAOC-এর বহিঃস্থ কোণ ∠AOD = ∠OAC + ∠OCA [বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান] = 2∠OCA।
ধাপ ৩: একইভাবে ΔBOC থেকে OB = OC, তাই ∠BOD = 2∠OCB।
ধাপ ৪: ধাপ ২ ও ৩ যোগ করে ∠AOD + ∠BOD = 2(∠OCA + ∠OCB), অর্থাৎ ∠AOB = 2∠ACB। (প্রমাণিত)
কেন্দ্র O যদি ∠ACB-এর বাইরে পড়ে, তাহলে যোগের বদলে বিয়োগ করতে হয়: ∠AOB = ∠BOD − ∠AOD = 2(∠OCB − ∠OCA) = 2∠ACB। সিমুলেশনে C-কে A বা B-এর কাছে নিয়ে গেলে এই অবস্থা দেখবে।
∠AOD = 2∠OCA, ∠BOD = 2∠OCBদুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ
∠AOB = 2∠ACBযোগ (বা বিয়োগ) করে
উপপাদ্য ২: একই বৃত্তাংশস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান
জ্যা AB বৃত্তকে দুই বৃত্তাংশে ভাগ করে। একই বৃত্তাংশের যেকোনো দুই বিন্দু C আর D থেকে AB-এর দিকে তাকালে একই কোণ তৈরি হয়। সিমুলেশনের শুরুর ছবিতে ∠ACB = ∠ADB = ৭০°, কারণ দুটিই একই চাপের (১৪০°) উপর দণ্ডায়মান।
আর D-কে টেনে জ্যা AB-এর অন্য পাশে নিয়ে গেলে? তখন C আর D ভিন্ন বৃত্তাংশে, আর কোণ দুটি আর সমান থাকে না; বরং তাদের যোগফল ১৮০° হয়ে যায়। পরিমাপ প্যানেল নিজেই যাচাইয়ের সম্পর্ক বদলে দেখায়। এই দ্বিতীয় তথ্যটাই আসলে বৃত্তীয় চতুর্ভুজের উপপাদ্য।
বিশেষ নির্বচন ও অঙ্কন (উপপাদ্য ২)
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠ACB ও ∠ADB একই বৃত্তাংশস্থ দুটি কোণ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACB = ∠ADB। অঙ্কন: O, A এবং O, B যোগ করি।
প্রমাণ (উপপাদ্য ১ ব্যবহার করে)
একই চাপ AB-এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB। তাই ∠AOB = 2∠ACB। আবার একই চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ∠ADB, তাই ∠AOB = 2∠ADB।
সুতরাং 2∠ACB = 2∠ADB, অর্থাৎ ∠ACB = ∠ADB। (প্রমাণিত)
উপপাদ্য ৩: অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ
জ্যা যখন ব্যাস হয়ে যায়, তখন তার উপর কেন্দ্রস্থ কোণ একটা সরল কোণ, মানে ১৮০°। উপপাদ্য ১ অনুযায়ী বৃত্তস্থ কোণ তার অর্ধেক, অর্থাৎ ৯০°। তাই ব্যাসের দুই প্রান্তকে বৃত্তের যেকোনো বিন্দুর সঙ্গে যোগ করলে সবসময় সমকোণী ত্রিভুজ হয়।
সিমুলেশনে “অর্ধবৃত্তস্থ কোণ” বেছে নাও। A টানলে পুরো ব্যাস AB ঘোরে, C টানলে বিন্দুটা বৃত্তের উপর চলে। দুই ক্ষেত্রেই C বিন্দুতে ছোট বর্গ চিহ্ন আর ∠ACB = ৯০° থাকে। সঙ্গে দেখো AC² + BC² আর AB² সবসময় সমান: পিথাগোরাসের উপপাদ্যও এখানে বসে আছে।
বিশেষ নির্বচন (উপপাদ্য ৩)
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের AB একটি ব্যাস এবং C বৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠ACB = এক সমকোণ।
প্রমাণ (উপপাদ্য ৩)
অর্ধবৃত্ত AB-এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB = দুই সমকোণ, কারণ AOB একটি সরলরেখা।
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB = ½∠AOB [উপপাদ্য ১] = ½ × দুই সমকোণ = এক সমকোণ। (প্রমাণিত)
বিকল্প প্রমাণ: O, C যোগ করো। OA = OB = OC, তাই ΔOAC ও ΔOBC দুটিই সমদ্বিবাহু। ∠OCA = ∠OAC আর ∠OCB = ∠OBC। ΔABC-এর তিন কোণের যোগফল ১৮০°, তাই 2(∠OCA + ∠OCB) = ১৮০°, অর্থাৎ ∠ACB = ৯০°। সহায়ক রেখা চালু করলে এই দুটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোণ দেখা যায়।
উপপাদ্য ৪: বৃত্তীয় চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ
যে চতুর্ভুজের চার শীর্ষই একটা বৃত্তের উপর, তার বিপরীত কোণ দুটো যোগ করলে সবসময় ১৮০°। সিমুলেশনের শুরুর চতুর্ভুজে ∠A = ১০০°, ∠B = ৯৫°, ∠C = ৮০°, ∠D = ৮৫°। তাহলে ∠A + ∠C = ১৮০° আর ∠B + ∠D = ১৮০°।
এর সঙ্গে একটা বোনাস তথ্য: BC-কে E পর্যন্ত বাড়ালে বহিঃস্থ কোণ ∠DCE = ১৮০° − ∠C = ১০০°, যা অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ ∠A-এর সমান। সবুজ ড্যাশ রেখা আর সবুজ কোণটা সেটাই দেখায়।
বিশেষ নির্বচন ও অঙ্কন (উপপাদ্য ৪)
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ABCD একটি বৃত্তীয় চতুর্ভুজ। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BAD + ∠BCD = দুই সমকোণ এবং ∠ABC + ∠ADC = দুই সমকোণ। অঙ্কন: O, B এবং O, D যোগ করি।
প্রমাণ (উপপাদ্য ৪)
ধাপ ১: চাপ BCD-এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BAD। সুতরাং ∠BOD = 2∠BAD।
ধাপ ২: চাপ BAD-এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ প্রবৃদ্ধ কোণ ∠BOD এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠BCD। সুতরাং প্রবৃদ্ধ ∠BOD = 2∠BCD।
ধাপ ৩: যোগ করে 2(∠BAD + ∠BCD) = ∠BOD + প্রবৃদ্ধ ∠BOD = চার সমকোণ। অতএব ∠BAD + ∠BCD = দুই সমকোণ।
ধাপ ৪: চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি চার সমকোণ, তাই বাকি দুটির যোগফলও ∠ABC + ∠ADC = দুই সমকোণ। (প্রমাণিত)
∠A + ∠C = ১৮০°, ∠B + ∠D = ১৮০°বিপরীত কোণ সম্পূরক
∠DCE = ∠Aবহিঃস্থ কোণ = অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ
উপপাদ্য ৫: কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
কেন্দ্র O থেকে জ্যা AB-এর উপর লম্ব OM আঁকলে M বিন্দু ঠিক AB-এর মাঝখানে পড়ে: AM = MB। সিমুলেশনে “কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর লম্ব” বেছে A বা B টানো; দুই অংশের উপর সমান-চিহ্নের ছোট দাগ আর পরিমাপে AM ও MB সবসময় সমান।
এই উপপাদ্য থেকেই সবচেয়ে বেশি আসা অঙ্কটা আসে: জ্যা-এর দৈর্ঘ্য বা কেন্দ্র থেকে দূরত্ব বের করা। ΔOAM সমকোণী, অতিভুজ OA = r। তাই OM² + AM² = r², আর জ্যা AB = 2AM = 2√(r² − OM²)।
বিশেষ নির্বচন (উপপাদ্য ৫)
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ব্যাস নয় এমন একটি জ্যা এবং OM ⊥ AB। প্রমাণ করতে হবে যে, AM = BM।
অঙ্কন ও প্রমাণ
অঙ্কন: O, A এবং O, B যোগ করি।
ΔOAM ও ΔOBM সমকোণী ত্রিভুজে ∠OMA = ∠OMB = এক সমকোণ, অতিভুজ OA = অতিভুজ OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ], আর OM উভয়ের সাধারণ বাহু।
সুতরাং ΔOAM ≅ ΔOBM [অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা]। অতএব AM = BM। (প্রমাণিত)
OM² + AM² = r²পিথাগোরাস, ΔOAM-এ
AB = 2√(r² − OM²)জ্যা-এর দৈর্ঘ্য
উপপাদ্য ৬: স্পর্শক ব্যাসার্ধের উপর লম্ব, আর বাইরের বিন্দু থেকে দুই স্পর্শক সমান
স্পর্শক বৃত্তকে একটাই বিন্দুতে ছোঁয়। সেই স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ টানলে তা স্পর্শকের সঙ্গে ঠিক ৯০° কোণ তৈরি করে। আবার বাইরের কোনো বিন্দু P থেকে দুটো স্পর্শক টানলে দুটোর দৈর্ঘ্য সমান: PT₁ = PT₂ = √(d² − r²), যেখানে d = OP। সিমুলেশনের শুরুতে r = ৫, d = ১৩, তাই স্পর্শকের দৈর্ঘ্য √(১৬৯ − ২৫) = √১৪৪ = ১২।
P বিন্দু টেনে কাছে আনো: স্পর্শক ছোট হয়, আর P বৃত্তের ঠিক কাছে এলে দুই স্পর্শবিন্দু প্রায় মিলে যায়। দূরে নিলে স্পর্শক লম্বা হয়। কিন্তু দুটো সবসময় সমান, আর দুই স্পর্শবিন্দুতে কোণ সবসময় ৯০°।
স্পর্শক ⟂ ব্যাসার্ধ: বিশেষ নির্বচন ও প্রমাণ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের P বিন্দুতে PT একটি স্পর্শক এবং OP স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ। প্রমাণ করতে হবে যে, PT ⊥ OP।
অঙ্কন ও প্রমাণ: PT-এর উপর P ছাড়া যেকোনো বিন্দু Q নিই এবং O, Q যোগ করি। স্পর্শক বৃত্তকে একটিমাত্র বিন্দুতে ছোঁয়, তাই Q বৃত্তের বাইরে। সুতরাং OQ > OP।
এটা PT-এর প্রতিটি বিন্দু Q-এর জন্য সত্য, তাই OP হলো O থেকে PT-এর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব। কোনো বিন্দু থেকে একটি রেখার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো লম্ব দূরত্ব। অতএব OP ⊥ PT। (প্রমাণিত)
বাইরের বিন্দু থেকে দুই স্পর্শক সমান: প্রমাণ
মনে করি, বহিঃস্থ বিন্দু P থেকে বৃত্তে PA ও PB দুটি স্পর্শক, A ও B স্পর্শবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, PA = PB। অঙ্কন: O, A; O, B এবং O, P যোগ করি।
ΔOAP ও ΔOBP-তে ∠OAP = ∠OBP = এক সমকোণ [স্পর্শক ব্যাসার্ধের উপর লম্ব], অতিভুজ OP সাধারণ, আর OA = OB [ব্যাসার্ধ]।
সুতরাং ΔOAP ≅ ΔOBP [অতিভুজ-বাহু], অতএব PA = PB। (প্রমাণিত) সঙ্গে ∠APO = ∠BPO, মানে OP রেখা দুই স্পর্শকের মাঝের কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
PA = PB = √(d² − r²)d = কেন্দ্র থেকে P-এর দূরত্ব
উপপাদ্য ৭: একান্তর বৃত্তাংশের উপপাদ্য
বৃত্তের A বিন্দুতে একটা স্পর্শক আর A থেকে একটা জ্যা AB টানো। স্পর্শক আর জ্যা-এর মাঝের কোণ সমান হবে জ্যা-এর অন্য পাশের বৃত্তাংশের (একান্তর বৃত্তাংশের) যেকোনো বৃত্তস্থ কোণের। সিমুলেশনের শুরুতে দুটোই ৬০°।
“একান্তর” মানে উল্টো দিকের। স্পর্শক-জ্যা কোণ যে পাশে আছে, C তার উল্টো পাশের বৃত্তাংশে থাকে। C-কে ঘুরিয়ে দেখো, ∠ACB বদলায় না; A বা B সরালে দুটো কোণ একসঙ্গে বদলায়, কিন্তু সবসময় সমান থাকে। এই উপপাদ্য বোর্ডের সৃজনশীলে কখনো সরাসরি, কখনো অঙ্কের ভেতরে লুকিয়ে আসে।
প্রমাণ (স্পর্শক-জ্যা কোণ সূক্ষ্মকোণ হলে)
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে AT স্পর্শক, AB একটি জ্যা এবং C একান্তর বৃত্তাংশের একটি বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে যে, ∠BAT = ∠ACB।
অঙ্কন: A বিন্দু দিয়ে ব্যাস AA′ আঁকি এবং A′, B যোগ করি।
ধাপ ১: ∠ABA′ = ৯০° [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]। তাই ΔABA′-এ ∠BAA′ + ∠AA′B = ৯০°।
ধাপ ২: ∠TAA′ = ৯০° [স্পর্শক ব্যাসার্ধের উপর লম্ব], অর্থাৎ ∠BAT + ∠BAA′ = ৯০°।
ধাপ ৩: দুটো তুলনা করে ∠BAT = ∠AA′B। আবার ∠AA′B = ∠ACB [একই বৃত্তাংশস্থ কোণ]। অতএব ∠BAT = ∠ACB। (প্রমাণিত) কোণটি স্থূল হলে অন্য পাশের কোণ ১৮০° থেকে বিয়োগ করে একইভাবে প্রমাণ হয়।
সিমুলেশনে নিজে করে দেখো: ছয়টি ছোট পরীক্ষা
প্রতিটি পরীক্ষা এক-দুই মিনিটের। খাতায় মাপা সংখ্যাগুলো লিখে রাখলে পরে প্রমাণ লিখতে সুবিধা হবে।
পরীক্ষা ১: কেন্দ্রস্থ কোণ কখন প্রবৃদ্ধ হয়
কেন্দ্রস্থ কোণ মোডে A-কে ধীরে ধীরে C-এর দিকে টেনে নাও, যেন চাপ AB (C-এর উল্টো দিকের) বড় হতে থাকে। ∠AOB ১৮০° পার হলে দেখো ∠ACB ৯০° পার হয়। সম্পর্কটা কোথাও ভাঙে না।
পরীক্ষা ২: একই আর ভিন্ন বৃত্তাংশ
একই বৃত্তাংশ মোডে D-কে জ্যা AB পার করিয়ে অন্য পাশে নাও। “C ও D একই বৃত্তাংশে?” না হয়ে যায়, আর যাচাইয়ের সারি বদলে ∠ACB + ∠ADB = ১৮০° দেখায়। মনে মনে ভাবো, ACBD তখন একটা বৃত্তীয় চতুর্ভুজ।
পরীক্ষা ৩: সমকোণ ধরে রাখা
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ মোডে ▶ চাপো। C পুরো অর্ধবৃত্ত ঘুরে বেড়ায়, ত্রিভুজ কখনো চ্যাপ্টা, কখনো সমদ্বিবাহু হয়, কিন্তু C-এর বর্গ চিহ্ন সরে না। AC² + BC² আর AB² এর সংখ্যা মিলিয়ে দেখো।
পরীক্ষা ৪: বৃত্তীয় চতুর্ভুজের কোণের খেলা
বৃত্তীয় চতুর্ভুজ মোডে A-কে টেনে ∠A বড় করো। দেখবে ∠C ঠিক ততটাই ছোট হয়, আর সবুজ বহিঃস্থ কোণ ∠DCE ∠A-এর সঙ্গে তাল মিলিয়ে বাড়ে।
পরীক্ষা ৫: জ্যা সবচেয়ে বড় কখন
জ্যা মোডে B-কে ঘুরাও। OM যত ছোট হয়, AB তত বড়। OM = ০ হলে জ্যা কেন্দ্র দিয়ে যায়, মানে ব্যাস, দৈর্ঘ্য 2r। তখন AB-এর মান ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ কিনা দেখো।
পরীক্ষা ৬: স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের সূত্র যাচাই
স্পর্শক মোডে d স্লাইডার কয়েকটা মানে নাও আর প্রতিবার PT₁ ও √(d² − r²) মিলিয়ে দেখো। তারপর ব্যাসার্ধ বদলাও: ∠OT₁P তবুও ৯০° থাকে।
সমাধানসহ অঙ্ক: ধাপে ধাপে
নিচের প্রতিটি অঙ্কের সংখ্যা সূত্র থেকে হিসাব করা। উত্তর লেখার সময় প্রতিটি ধাপের পাশে কোন উপপাদ্য ব্যবহার করলে তা লিখবে; বোর্ড পরীক্ষায় এর জন্য নম্বর থাকে।
অঙ্ক ১: কেন্দ্রস্থ কোণ থেকে বৃত্তস্থ কোণ
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠AOB = ১১০°। অধিচাপের উপর C বিন্দু হলে ∠ACB কত? সমাধান: ∠ACB = ½∠AOB = ½ × ১১০° = ৫৫°।
আর C যদি উপচাপ AB-এর উপর থাকে? তখন C-এর উল্টো দিকের চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ: ৩৬০° − ১১০° = ২৫০°। তাই ∠ACB = ½ × ২৫০° = ১২৫°। লক্ষ করো, ৫৫° + ১২৫° = ১৮০°।
অঙ্ক ২: একই বৃত্তাংশের কোণ
একটি বৃত্তে ∠ACB = ৩৮° এবং D বিন্দু C-এর সঙ্গে একই বৃত্তাংশে। ∠ADB ও ∠AOB নির্ণয় করো। সমাধান: একই বৃত্তাংশস্থ কোণ সমান, তাই ∠ADB = ৩৮°। আর ∠AOB = 2 × ৩৮° = ৭৬°।
অঙ্ক ৩: অর্ধবৃত্তে পিথাগোরাস
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫ সেমি, AB ব্যাস এবং C বৃত্তের উপর একটি বিন্দু। AC = ৬ সেমি হলে BC ও ΔABC-এর ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান: ∠ACB = ৯০° [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ]। AB = ১০ সেমি। তাই BC² = AB² − AC² = ১০০ − ৩৬ = ৬৪, BC = ৮ সেমি। ক্ষেত্রফল = ½ × ৬ × ৮ = ২৪ বর্গসেমি।
BC = √(AB² − AC²)কারণ ∠C সমকোণ
অঙ্ক ৪: বৃত্তীয় চতুর্ভুজে বীজগণিত
বৃত্তীয় চতুর্ভুজ ABCD-তে ∠A = (২x + ১০)° এবং ∠C = (৩x − ৫)°। x এবং কোণ দুটি নির্ণয় করো।
সমাধান: ∠A + ∠C = ১৮০°, তাই ৫x + ৫ = ১৮০, বা ৫x = ১৭৫, বা x = ৩৫। সুতরাং ∠A = ৮০° এবং ∠C = ১০০°। যাচাই: ৮০ + ১০০ = ১৮০।
অঙ্ক ৫: জ্যা-এর দৈর্ঘ্য
১৩ সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের একটি জ্যা কেন্দ্র থেকে ৫ সেমি দূরে। জ্যাটির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান: কেন্দ্র থেকে লম্ব OM জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। AM² = OA² − OM² = ১৬৯ − ২৫ = ১৪৪, AM = ১২ সেমি। সুতরাং জ্যা AB = 2 × ১২ = ২৪ সেমি।
অঙ্ক ৬: কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব
১০ সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তে ১৬ সেমি দীর্ঘ একটি জ্যা আছে। কেন্দ্র থেকে এর দূরত্ব কত?
সমাধান: অর্ধেক জ্যা = ৮ সেমি। OM² = ১০০ − ৬৪ = ৩৬, তাই OM = ৬ সেমি।
অঙ্ক ৭: সিমুলেশনের স্পর্শক
৫ একক ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ১৩ একক দূরের বিন্দু P থেকে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত? সমাধান: ∠OTP = ৯০°, তাই PT = √(১৬৯ − ২৫) = √১৪৪ = ১২ একক। সিমুলেশনের স্পর্শক মোড খুললেই এই সংখ্যা দেখবে।
অঙ্ক ৮: স্পর্শক থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব
বাইরের বিন্দু P থেকে ৭ সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তে টানা স্পর্শকের দৈর্ঘ্য ২৪ সেমি। P থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব কত?
সমাধান: OP² = PT² + OT² = ৫৭৬ + ৪৯ = ৬২৫, তাই OP = ২৫ সেমি।
অঙ্ক ৯: একান্তর বৃত্তাংশ
A বিন্দুতে স্পর্শক AT এবং জ্যা AB-এর মধ্যকার কোণ ৬২°। একান্তর বৃত্তাংশের বিন্দু C-এর জন্য ∠ACB কত? আর অন্য বৃত্তাংশের বিন্দু D-এর জন্য ∠ADB কত?
সমাধান: একান্তর বৃত্তাংশের উপপাদ্য অনুযায়ী ∠ACB = ৬২°। ACBD বৃত্তীয় চতুর্ভুজ, তাই ∠ADB = ১৮০° − ৬২° = ১১৮°।
অঙ্ক ১০: দুটি সমান্তরাল জ্যা
১৩ সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তে ১০ সেমি ও ২৪ সেমি দৈর্ঘ্যের দুটি জ্যা পরস্পর সমান্তরাল। জ্যা দুটির মধ্যে দূরত্ব কত?
সমাধান: প্রথম জ্যা-এর দূরত্ব = √(১৩² − ৫²) = ১২ সেমি; দ্বিতীয়টির = √(১৩² − ১২²) = ৫ সেমি। কেন্দ্রের দুই পাশে থাকলে দূরত্ব ১২ + ৫ = ১৭ সেমি; একই পাশে থাকলে ১২ − ৫ = ৭ সেমি। দুটো উত্তরই লিখবে।
অঙ্ক ১১: ব্যাসার্ধ দিয়ে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠AOB = ১১০° হলে ∠OAB কত? সমাধান: OA = OB, তাই ∠OAB = ∠OBA = (১৮০° − ১১০°) ÷ ২ = ৭০° ÷ ২ = ৩৫°।
অঙ্ক ১২: দুই স্পর্শকের মাঝের কোণ
বাইরের বিন্দু P থেকে টানা দুই স্পর্শক PA ও PB-এর মাঝের কোণ ∠APB = ৭০°। ∠AOB এবং অধিচাপের উপর যেকোনো বিন্দু C-তে ∠ACB কত?
সমাধান: চতুর্ভুজ OAPB-তে ∠OAP = ∠OBP = ৯০°, তাই ∠AOB = ৩৬০° − ৯০° − ৯০° − ৭০° = ১১০°। ∠ACB = ½ × ১১০° = ৫৫°।
∠AOB + ∠APB = ১৮০°দুই স্পর্শকের চতুর্ভুজ বৃত্তীয়
সাধারণ ভুল: যেগুলোতে সবচেয়ে বেশি নম্বর কাটে
খাতা দেখার সময় পরীক্ষকরা বারবার এই ভুলগুলো পান। একবার পড়ে নিলে তুমি এগুলো এড়াতে পারবে।
- কেন্দ্রস্থ কোণকে বৃত্তস্থ কোণের অর্ধেক লেখা: উল্টোটা সত্যি, কেন্দ্রের কোণটাই বড় (দ্বিগুণ)।
- ভিন্ন চাপের কোণ মিলিয়ে ফেলা: কেন্দ্রস্থ আর বৃত্তস্থ কোণ অবশ্যই একই চাপের উপর দণ্ডায়মান হতে হবে।
- ভিন্ন বৃত্তাংশের দুই কোণকে সমান ধরা: জ্যা-এর দুই পাশের কোণ সমান নয়, সম্পূরক।
- বৃত্তীয় চতুর্ভুজে পাশাপাশি কোণ যোগ করে ১৮০° ধরা: শুধু বিপরীত (মুখোমুখি) কোণের যোগফল ১৮০°।
- জ্যা-এর দৈর্ঘ্যের অঙ্কে অর্ধেক জ্যা দিয়ে হিসাব করে শেষে দ্বিগুণ করতে ভুলে যাওয়া।
- যে বিন্দু থেকে স্পর্শক টানা হয়েছে সেখানে সমকোণ ধরা: সমকোণ থাকে স্পর্শবিন্দুতে, ব্যাসার্ধ আর স্পর্শকের মাঝে।
- প্রমাণে যথার্থতা (কারণ) না লেখা: “OA = OC” লিখলে পাশে “[একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]” না লিখলে নম্বর কমে।
- একান্তর বৃত্তাংশে ভুল পাশের কোণ নেওয়া: স্পর্শক-জ্যা কোণ উল্টো দিকের বৃত্তাংশের কোণের সমান, একই পাশের নয়।
বাস্তব জীবনে বৃত্তের উপপাদ্য
কাঠমিস্ত্রির কাছে একটা ভাঙা চাকার টুকরো আছে, পুরো চাকার কেন্দ্র খুঁজতে হবে। তিনি টুকরোর উপর দুটো জ্যা আঁকেন আর প্রতিটির লম্ব সমদ্বিখণ্ডক টানেন। দুটো যেখানে মেলে, সেটাই কেন্দ্র, কারণ কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। প্রত্নতত্ত্ববিদরা ভাঙা মাটির থালার টুকরো থেকে পুরো থালার মাপ এভাবেই বের করেন।
কাঠমিস্ত্রির বর্গ (L আকারের রুলার) দিয়ে অর্ধবৃত্তের কোণ ব্যবহার করে যেকোনো গোল জিনিসের কেন্দ্র খোঁজা যায়: সমকোণের শীর্ষ বৃত্তের কিনারে বসালে দুই বাহু যেখানে বৃত্ত কাটে, সেই দুই বিন্দু একটা ব্যাসের প্রান্ত।
সাইকেলের চেইন আর গিয়ার, বেল্ট আর পুলি: চেইন বা বেল্ট চাকাকে স্পর্শকের মতো ছুঁয়ে যায়, আর সেই বিন্দুতে চাকার স্পোক (ব্যাসার্ধ) বেল্টের উপর লম্ব। প্রকৌশলীরা বেল্টের দৈর্ঘ্য হিসাব করতে বাইরের বিন্দু থেকে স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের সূত্র ব্যবহার করেন।
রাস্তার বাঁক বা রেললাইনের বাঁক ডিজাইন করতে প্রকৌশলীরা জ্যা আর তার মধ্যবিন্দু থেকে বাঁকের উচ্চতা মেপে বৃত্তের ব্যাসার্ধ বের করেন: ঠিক আমাদের OM² + AM² = r² সূত্র। মঞ্চ বা সিনেমা হলের আসন বৃত্তাকারে সাজালে একই চাপের উপর দাঁড়ানো সব দর্শক পর্দাকে একই কোণে দেখেন।
পরীক্ষার কর্নার: SSC জ্যামিতির উপপাদ্য, সৃজনশীল ও বহুনির্বাচনি
নবম-দশম শ্রেণির গণিত বইয়ের “বৃত্ত” অধ্যায় থেকে SSC-তে প্রায় প্রতি বছর একটি সৃজনশীল প্রশ্ন আসে। সাধারণত (খ) অংশে একটি উপপাদ্য প্রমাণ করতে বলে, আর (গ) অংশে সেই উপপাদ্য ব্যবহার করে অন্য কিছু প্রমাণ বা মান নির্ণয় করতে হয়। উপপাদ্য লেখার সময় সাধারণ নির্বচন (প্রতিজ্ঞা), চিত্র, বিশেষ নির্বচন, অঙ্কন আর যথার্থতাসহ প্রমাণ: এই পাঁচটা অংশ থাকলে পূর্ণ নম্বর পাওয়া সহজ।
বহুনির্বাচনিতে সরাসরি মান বের করার প্রশ্ন বেশি আসে: অর্ধবৃত্তস্থ কোণ কত, বৃত্তীয় চতুর্ভুজের একটি কোণ দেওয়া থাকলে বিপরীত কোণ কত, জ্যা-এর দৈর্ঘ্য বা কেন্দ্র থেকে দূরত্ব কত, আর স্পর্শক ও ব্যাসার্ধের মাঝের কোণ কত। বহুপদী সমাপ্তিসূচক প্রশ্নে তিনটি বাক্যের কোনটি সত্য তা যাচাই করতে বলে; উপরের ভুলের তালিকাটা এখানে সবচেয়ে কাজে লাগে।
- চিত্র পরিষ্কার করে পেনসিলে আঁকো, কেন্দ্র O চিহ্নিত করো, আর প্রশ্নে দেওয়া অক্ষরই ব্যবহার করো।
- প্রতিটি ধাপের পাশে তৃতীয় বন্ধনীতে কারণ লেখো: [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ], [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ], [স্পর্শক ব্যাসার্ধের উপর লম্ব]।
- প্রবৃদ্ধ কোণ লাগলে তা স্পষ্ট করে লেখো (“প্রবৃদ্ধ ∠BOD”), নইলে পরীক্ষক ছোট কোণটা ধরবেন।
- দুই সম্ভাব্য উত্তর থাকলে (যেমন সমান্তরাল জ্যা একই বা বিপরীত পাশে) দুটোই দেখাও।
- উচ্চতর গণিত ও HSC-র স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে বৃত্তের সমীকরণের অঙ্কেও এই উপপাদ্যগুলো লাগে: কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের দূরত্ব = ব্যাসার্ধ।
এক পাতায় রিভিশন
পরীক্ষার আগের রাতে শুধু এই সারণিটা দেখে নাও। প্রতিটি সারির উপপাদ্য সিমুলেশনের একটি মোডে আছে।
| উপপাদ্য | সম্পর্ক | মূল কারণ (প্রমাণের চাবি) |
|---|---|---|
| কেন্দ্রস্থ ও বৃত্তস্থ কোণ | ∠AOB = 2∠ACB | সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ও বহিঃস্থ কোণ |
| একই বৃত্তাংশস্থ কোণ | ∠ACB = ∠ADB | দুটিই ½∠AOB |
| অর্ধবৃত্তস্থ কোণ | ∠ACB = ৯০° | ∠AOB = ১৮০° |
| বৃত্তীয় চতুর্ভুজ | ∠A + ∠C = ∠B + ∠D = ১৮০° | দুই কেন্দ্রস্থ কোণের যোগ ৩৬০° |
| বহিঃস্থ কোণ | ∠DCE = ∠A | ∠C-এর সম্পূরক |
| জ্যা-এর উপর লম্ব | AM = MB, OM² + AM² = r² | অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা |
| স্পর্শক ও ব্যাসার্ধ | OT ⟂ PT | ক্ষুদ্রতম দূরত্ব লম্ব দূরত্ব |
| দুই স্পর্শক | PA = PB = √(d² − r²) | অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা |
| একান্তর বৃত্তাংশ | ∠BAT = ∠ACB | ব্যাস AA′ ও অর্ধবৃত্তস্থ কোণ |
সচরাচর জিজ্ঞাসা
বৃত্ত সংক্রান্ত উপপাদ্য কয়টি?
নবম-দশম শ্রেণির বইয়ে জ্যা, কোণ আর স্পর্শক মিলিয়ে বেশ কয়েকটি উপপাদ্য আছে। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ হলো: কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর লম্ব, সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ, একই বৃত্তাংশস্থ কোণ সমান, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ, বৃত্তীয় চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ সম্পূরক, আর স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য।
কেন্দ্রস্থ কোণ আর বৃত্তস্থ কোণের পার্থক্য কী?
কেন্দ্রস্থ কোণের শীর্ষ বৃত্তের কেন্দ্রে আর বাহু দুটি ব্যাসার্ধ। বৃত্তস্থ কোণের শীর্ষ বৃত্তের উপর আর বাহু দুটি জ্যা। একই চাপের উপর দাঁড়ালে কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ কত ডিগ্রি?
সবসময় ৯০°, মানে এক সমকোণ। কারণ ব্যাসের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ১৮০°, আর বৃত্তস্থ কোণ তার অর্ধেক।
বৃত্তীয় চতুর্ভুজ কাকে বলে?
যে চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দুই একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত, তাকে বৃত্তীয় চতুর্ভুজ বা বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ বলে। এর বিপরীত কোণ দুটির যোগফল সবসময় ১৮০°।
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র কী?
ব্যাসার্ধ r আর কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব d হলে জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2√(r² − d²)। এটা আসে কেন্দ্র থেকে লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে, আর অর্ধেক জ্যা, লম্ব ও ব্যাসার্ধ মিলে সমকোণী ত্রিভুজ হয় বলে।
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কীভাবে বের করব?
বাইরের বিন্দু P থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব d আর ব্যাসার্ধ r হলে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য √(d² − r²)। কারণ স্পর্শবিন্দুতে ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব, তাই OP অতিভুজ।
স্পর্শক আর ছেদকের পার্থক্য কী?
স্পর্শক বৃত্তকে মাত্র একটি বিন্দুতে ছোঁয়, আর ছেদক দুটি বিন্দুতে কাটে। ছেদকের দুই ছেদবিন্দু কাছে আসতে আসতে মিলে গেলে ছেদকটাই স্পর্শক হয়ে যায়।
একান্তর বৃত্তাংশের উপপাদ্য কী?
বৃত্তের কোনো বিন্দুতে স্পর্শক ও ঐ বিন্দুগামী জ্যা-এর মধ্যকার কোণ জ্যা-এর অপর পাশের (একান্তর) বৃত্তাংশস্থ কোণের সমান।
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর লম্ব কেন জ্যাকে সমান দুই ভাগ করে?
কারণ OA আর OB দুটোই ব্যাসার্ধ, তাই সমান। লম্ব OM দুই পাশে দুটি সমকোণী ত্রিভুজ বানায় যাদের অতিভুজ সমান আর একটি বাহু (OM) সাধারণ। অতিভুজ-বাহু সর্বসমতায় ত্রিভুজ দুটি সর্বসম, তাই AM = MB।
কোন চতুর্ভুজ বৃত্তীয় হতে পারে না?
যে চতুর্ভুজের বিপরীত কোণের যোগফল ১৮০° নয়। যেমন বর্গ ছাড়া অন্য রম্বস বা সাধারণ সামান্তরিক বৃত্তীয় নয়; কিন্তু আয়তক্ষেত্র, বর্গ আর সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম বৃত্তীয়।
এই বিষয়ের আরও পড়াশোনা
অ্যানিমেশনে ধারণা পরিষ্কার হলো, এবার পরীক্ষার প্রস্তুতি: সিলেবাস, সাজেশন, বই আর ভর্তি পরীক্ষার গাইড নিচে।
পাঠ্যবই
নবম-দশম শ্রেণির গণিত বই
ভর্তি
গুচ্ছ (GST) বিজ্ঞান ইউনিট ভর্তি ২০২৬-২৭
SSC
এসএসসি গণিত: সিলেবাস ও প্রস্তুতি
SSC
এসএসসি উচ্চতর গণিত: সিলেবাস ও প্রস্তুতি
HSC
এইচএসসি উচ্চতর গণিত: সিলেবাস ও প্রস্তুতি
পাঠ্যবই
নবম-দশম শ্রেণির উচ্চতর গণিত বই
ভর্তি
ইঞ্জিনিয়ারিং ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতি
ভর্তি
জাবি গাণিতিক ও পদার্থবিষয়ক অনুষদ ভর্তি
English
Paragraph: Artificial Intelligence (ইংরেজিতে)
বাংলা
রচনা: কৃত্রিম বুদ্ধিমত্তা
SSC
এসএসসি সাজেশন
HSC
এইচএসসি সাজেশন
ভর্তি
বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার গাইড
SSC
এসএসসি সিলেবাস
HSC
এইচএসসি সিলেবাস
আরও গণিত অ্যানিমেশন
Class 8 · SSC
পিথাগোরাসের উপপাদ্য
পিথাগোরাসের উপপাদ্য কাকে বলে, সূত্র c² = a² + b², অষ্টম ও নবম-দশম শ্রেণির প্রমাণ, বিপরীত উপপাদ্য, পিথাগোরীয় ত্রয়ী ও সমাধানসহ অঙ্ক: ত্রিভুজ টেনে নিজে দেখো।
SSC · HSC
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও একক বৃত্ত
ত্রিকোণমিতিক অনুপাত কাকে বলে, sin cos tan-এর মান ০° থেকে ৩৬০°, আদর্শ কোণের টেবিল, চতুর্ভাগের চিহ্ন ও সূত্র: একক বৃত্তে বিন্দু ঘুরিয়ে নিজে দেখো, সমাধানসহ।
SSC · HSC
দ্বিঘাত সমীকরণ ও দ্বিঘাত ফাংশনের লেখচিত্র
দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে, উৎপাদক ও বর্গপূর্ণকরণ পদ্ধতি, শ্রীধর আচার্যের সূত্র, নিশ্চায়ক দিয়ে মূলের প্রকৃতি, শীর্ষবিন্দু ও পরাবৃত্তের লেখচিত্র অ্যানিমেশনে।
SSC
দূরত্ব ও উচ্চতা: উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ
উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ কাকে বলে, দূরত্ব ও উচ্চতার সূত্র কীভাবে কাজ করে, আর দুই দফা পর্যবেক্ষণে না মেপেই টাওয়ারের উচ্চতা বের করা যায় কীভাবে — ইন্টারঅ্যাকটিভ সিমুলেশন ও সমাধানসহ।
SSC
সম্ভাবনা: পরীক্ষালব্ধ বনাম তাত্ত্বিক সম্ভাবনা
সম্ভাবনা কাকে বলে, নমুনা ক্ষেত্র ও সম্ভাবনার সূত্র P(E) = n(E)/n(S) কীভাবে কাজ করে, আর বহুবার নিক্ষেপ করলে পরীক্ষালব্ধ হার কীভাবে তাত্ত্বিক সম্ভাবনার কাছাকাছি চলে আসে — মুদ্রা, ছক্কা, দুই ছক্কা ও রঙিন বল দিয়ে ইন্টারঅ্যাকটিভ সিমুলেশন ও সমাধান করা অঙ্কসহ।
SSC · HSC
সমান্তর ও গুণোত্তর ধারা
সমান্তর ধারা ও গুণোত্তর ধারার n-তম পদ ও যোগফল সূত্র, গাউসের জোড়া বাঁধার কৌশল আর অসীম ধারার সূত্র a/(1−r): বার-চার্ট অ্যানিমেশনে নিজে টেনে দেখো, সমাধান করা অঙ্কসহ।
SSC
গড়, মধ্যক ও প্রচুরক
গড়, মধ্যক ও প্রচুরক নির্ণয়ের সূত্র, আউটলায়ারে মধ্যক কেন অটুট থাকে, আর শ্রেণিবদ্ধ উপাত্তের মধ্যক-প্রচুরক সূত্র: বিন্দু টেনে সংখ্যা রেখায় নিজে দেখো, সমাধান করা অঙ্কসহ।
অন্য বিষয়ের অ্যানিমেশন
পদার্থবিজ্ঞান
আলোর প্রতিসরণ
পদার্থবিজ্ঞান
ওহমের সূত্র
পদার্থবিজ্ঞান
প্রাসের গতি
পদার্থবিজ্ঞান
সরল দোলক
পদার্থবিজ্ঞান
তড়িৎ ক্ষেত্র
পদার্থবিজ্ঞান
তরঙ্গের ব্যতিচার
পদার্থবিজ্ঞান
পড়ন্ত বস্তু ও পড়ন্ত বস্তুর সূত্র
পদার্থবিজ্ঞান
লেন্সে প্রতিবিম্ব গঠন
পদার্থবিজ্ঞান
নিউটনের গতির সূত্র
পদার্থবিজ্ঞান
গোলীয় দর্পণে প্রতিবিম্ব গঠন
পদার্থবিজ্ঞান
তড়িৎচুম্বকীয় আবেশ ও ফ্যারাডের সূত্র
পদার্থবিজ্ঞান
ভরবেগের সংরক্ষণ ও সংঘর্ষ
পদার্থবিজ্ঞান
কাজ, ক্ষমতা ও শক্তি
পদার্থবিজ্ঞান
নততল
রসায়ন
পরমাণুর গঠন
রসায়ন
এসিড, ক্ষারক ও pH স্কেল
রসায়ন
ইলেকট্রন বিন্যাস
রসায়ন
গ্যাসের সূত্র: বয়েল, চার্লস ও আদর্শ গ্যাস সমীকরণ
রসায়ন
আয়নিক বন্ধন কীভাবে গঠিত হয়
রসায়ন
তড়িৎ বিশ্লেষণ ও ফ্যারাডের সূত্র
রসায়ন
সমযোজী বন্ধন
রসায়ন
পর্যায়বৃত্ত ধর্ম
জীববিজ্ঞান
মাইটোসিস কোষ বিভাজন
জীববিজ্ঞান
ব্যাপন ও অভিস্রবণ
জীববিজ্ঞান
সালোকসংশ্লেষণ
জীববিজ্ঞান
মানব হৃৎপিণ্ডের গঠন ও কাজ
জীববিজ্ঞান
মেন্ডেলের বংশগতি সূত্র
জীববিজ্ঞান
ডিএনএ রেপ্লিকেশন
জীববিজ্ঞান
কোষীয় শ্বসন
জীববিজ্ঞান
এনজাইম ক্রিয়া
জীববিজ্ঞান
স্নায়ু উদ্দীপনার পরিবহন ও অ্যাকশন পটেনশিয়াল
জীববিজ্ঞান
নেফ্রন ও মূত্র তৈরির প্রক্রিয়া
জীববিজ্ঞান
মিয়োসিস কোষ বিভাজন
জীববিজ্ঞান