प्रायिकता का सूत्र और सिमुलेशन: P(E) = n(E)/n(S) | Shikkha Web

खुद एक बार उछालें, या Play दबाकर कई बार चलाएँ

प्रयोगसिद्ध आवृत्तिसैद्धांतिक प्रायिकता

गति

नियंत्रण

प्रयोग

प्रति सेकंड कोशिशें5

मापन

कुल कोशिशें: 0
अंतिम परिणाम: —
सिद्धांत से औसत अंतर: 0.500
हेड: 0.000 / 0.500
टेल: 0.000 / 0.500

सिमुलेशन का उपयोग कैसे करें

"सिक्का उछालना" मोड में शुरू करें, नीचे के बटन से एक बार उछालें — H या T दिखेगा, बाईं ओर की गिनती और दाईं ओर का बार साथ-साथ बढ़ेंगे।
Play दबाकर कई बार उछालें, गति के लिए "प्रति सेकंड कोशिशें" स्लाइडर बढ़ाएँ। देखें प्रयोगसिद्ध बार धीरे-धीरे सैद्धांतिक 0.5 रेखा के पास आता जाता है।
"दो पासों का योग" मोड में जाएँ, लक्ष्य योग बदलें — 36 घरों के ग्रिड में जो जोड़े वह योग देते हैं वे रंगीन हो जाएँगे।
"थैले से गेंद निकालना" मोड में लाल-नीला-हरा गेंदों की संख्या बदलें और देखें सैद्धांतिक (खोखले) बार तुरंत बदल जाते हैं, भले अभी तक कोई गेंद निकाली न गई हो।
कई बार चलाने के बाद "सिद्धांत से औसत अंतर" रीडिंग देखें — यह संख्या घटती जाएगी, यही "बड़ी संख्याओं का नियम" है।

सिक्का सौ बार उछालने पर क्या होता है

एक सिक्का सिर्फ एक बार उछालने पर यह निश्चित रूप से नहीं कहा जा सकता कि हेड आएगा या टेल। लेकिन इसे सौ बार उछालने पर तुम भरोसे से कह सकते हो कि लगभग 50 बार हेड आएगा — और दस हज़ार बार उछालने पर यह अनुमान और भी सटीक हो जाता है। एक बिल्कुल अनिश्चित घटना भी बड़ी संख्या में एक पैटर्न में बदल जाती है — यही प्रायिकता की असली कहानी है।

कैसीनो, बीमा कंपनियाँ और मौसम विभाग — सभी इसी एक तथ्य पर टिके हैं। किसी एक ग्राहक का क्या होगा कोई नहीं जानता, पर लाखों ग्राहकों का औसत व्यवहार बड़ी सटीकता से बताया जा सकता है। ऊपर के सिमुलेशन में Play दबाकर खुद अपनी आँखों से देखो, बिल्कुल अनिश्चित चीज़ भी कैसे एक तय संख्या की ओर बढ़ती जाती है।

हम रोज़मर्रा की बातचीत में "शायद" शब्द बहुत इस्तेमाल करते हैं, बिना उसे किसी संख्या से जोड़े — "आज शायद बारिश होगी", "परीक्षा पास करने के अच्छे आसार हैं", "उस टीम के जीतने की संभावना कम है"। गणित की प्रायिकता इसी रोज़मर्रा के अंदाज़े को एक तय संख्या से बाँध देती है, ताकि दो अलग-अलग संभावनाओं की तुलना सिर्फ़ "कम" या "ज़्यादा" कहकर नहीं, बल्कि ठीक-ठीक की जा सके।

शुरुआत से: प्रयोग, परिणाम और प्रतिदर्श समष्टि

ऐसा काम जिसका परिणाम पहले से निश्चित रूप से नहीं कहा जा सकता, पर जिसके सभी संभावित परिणाम पहले से पता हों, उसे दैव (यादृच्छिक) प्रयोग कहते हैं — जैसे सिक्का उछालना या पासा फेंकना। प्रयोग के हर संभावित परिणाम को प्रतिदर्श बिंदु कहते हैं, और सभी प्रतिदर्श बिंदुओं के समुच्चय को प्रतिदर्श समष्टि (S) कहते हैं। सिक्के की प्रतिदर्श समष्टि S = {H, T}, पासे की S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}।

प्रतिदर्श समष्टि के किसी भी उपसमुच्चय को घटना (E) कहते हैं — जैसे "सम संख्या आना" एक घटना है, जिसमें {2, 4, 6} शामिल हैं। जो प्रतिदर्श बिंदु घटना को सच करते हैं, उन्हें अनुकूल परिणाम कहते हैं।

अगर हर प्रतिदर्श बिंदु के घटने की संभावना बराबर हो (जैसे एक निष्पक्ष सिक्के या निष्पक्ष पासे में), तो उन्हें समान रूप से संभावित घटनाएँ कहते हैं। इसी शर्त में सबसे सरल सूत्र सीधे लागू होता है — अनुकूल परिणाम भाग कुल परिणाम।

प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच रहती है। 0 का मतलब घटना कभी नहीं घटेगी (असंभव घटना), 1 का मतलब हर बार घटेगी (निश्चित घटना)। प्रायिकता कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती, और कभी 1 से बड़ी भी नहीं — जवाब में ऐसा कुछ आए तो समझो हिसाब में गलती हुई है।

सूत्रों से पहले, ज़रूरी शब्दावली

सूत्रों तक पहुँचने से पहले एक झलक शब्दावली की।

शब्द	चिह्न	सरल भाषा में अर्थ	सीमा
परीक्षण/प्रयत्न	—	दैव प्रयोग को एक बार चलाना — एक बार सिक्का उछालना, एक बार पासा फेंकना	—
परिणाम	—	एक प्रयत्न के अंत में जो मिला — जैसे H या 4	—
प्रतिदर्श समष्टि	S	सभी संभावित परिणामों का पूरा समुच्चय	—
घटना	E	प्रतिदर्श समष्टि का एक उपसमुच्चय जिसे हम मापना चाहते हैं — जैसे "सम संख्या"	—
अनुकूल परिणाम	n(E)	वे परिणाम जो घटना को सच करते हैं	—
समान रूप से संभावित	—	हर प्रतिदर्श बिंदु के घटने की संभावना बराबर, जैसे एक निष्पक्ष पासे का हर पहलू	—
सैद्धांतिक प्रायिकता	P(E)	बिना कोई प्रयोग किए, सिर्फ तर्क से पहले ही निकाली गई प्रायिकता	0–1
प्रयोगसिद्ध (अनुभवजन्य) प्रायिकता	—	बार-बार चलाकर वास्तव में मिली दर — अनुकूल परिणामों की संख्या ÷ कुल कोशिशें	0–1

सूत्र: सैद्धांतिक से प्रयोगसिद्ध तक

समान रूप से संभावित घटनाओं के लिए सैद्धांतिक सूत्र सबसे ज़्यादा इस्तेमाल होता है। इसके साथ दो और नियम और एक वास्तविक-जगत की परिभाषा जाननी ज़रूरी है।

P(E) = n(E) / n(S)सैद्धांतिक प्रायिकता — समान रूप से संभावित परिणामों के लिए

P(E) + P(not E) = 1पूरक नियम: E न घटने की प्रायिकता = 1 − P(E)

P(A या B) = P(A) + P(B)जब A और B परस्पर अपवर्जी हों (दोनों एक साथ नहीं घट सकते, जैसे एक ही उछाल में हेड और टेल दोनों)

P(A और B) = P(A) × P(B)जब A और B स्वतंत्र हों (एक का परिणाम दूसरे को प्रभावित न करे)

प्रयोगसिद्ध P(E) ≈ अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल कोशिशेंकोशिशें बढ़ने पर यह मान सैद्धांतिक P(E) के पास आता जाता है — यही बड़ी संख्याओं का नियम

परस्पर अपवर्जी बनाम स्वतंत्र घटनाएँ — दो अलग बातें, जो अक्सर गड्डमड्ड हो जाती हैं

परस्पर अपवर्जी का मतलब है दो घटनाएँ एक ही प्रयत्न में साथ नहीं घट सकतीं — एक ही पासे पर एक साथ 2 और 5 आना असंभव है, इसलिए ये दोनों घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं। तब "A या B" घटने की प्रायिकता बस दोनों का योग होती है।

स्वतंत्र घटना बिल्कुल अलग विचार है — यहाँ दो अलग प्रयोग (जैसे एक सिक्का और एक पासा) चल रहे होते हैं, और एक का परिणाम दूसरे को बिल्कुल प्रभावित नहीं करता। तब "A और B" दोनों घटने की प्रायिकता दोनों का गुणनफल होती है। जहाँ जोड़ लगना चाहिए वहाँ गुणा कर देना, या इसका उल्टा, इस अध्याय की सबसे आम भूल है।

सिमुलेशन में यह करके देखो

नीचे के हल किए गए सवालों तक पहुँचने से पहले इन सबको खुद करके देखो।

1. सिक्के में बड़ी संख्याओं का नियम देखो

"एक बार चलाएँ" कुछ बार दबाने पर हेड-टेल का अनुपात बेतरतीब लग सकता है — लगातार तीन बार हेड आना बिल्कुल सामान्य है। इसके बजाय Play दबाकर कुछ सौ बार उछालो, और देखो "सिद्धांत से औसत अंतर" लगातार घटता जाता है।

2. दो पासों के ग्रिड से गिनना सीखो

लक्ष्य योग 7 रखकर ग्रिड के रंगीन घर गिनो — ठीक 6 घर रंगीन होंगे, क्योंकि 36 समान-संभावित जोड़ों में से 6 में योग 7 आता है। योग 2 या 12 करने पर सिर्फ एक कोने का घर रंगीन होगा।

3. थैला बदलकर सिद्धांत को तुरंत बदलते देखो

लाल गेंदों की संख्या बढ़ाते ही लाल का सैद्धांतिक (खोखला) बार तुरंत बड़ा हो जाएगा, भले अभी तक कोई गेंद न निकाली गई हो। यही तर्क से प्रायिकता निकालने और उसे प्रयोग करके देखने का फ़र्क़ है।

4. गति बढ़ाकर जल्दी मिलान करो

"प्रति सेकंड कोशिशें" स्लाइडर बढ़ाओ, कुछ सेकंड में हज़ारों कोशिशें जुड़ जाएँगी — हर परिणाम के दोनों बार लगभग बराबर ऊँचाई पर आ टिकेंगे।

हल किए गए सवाल

नौ सवाल — सिक्का, पासा, दो पासे, थैले की गेंदें और असली दर्ज किया डेटा। हर संख्या इसी पेज के कोड से निकाली गई है।

सवाल 1 (सिक्का): एक सिक्का एक बार उछाला गया — हेड आने की प्रायिकता निकालो

प्रतिदर्श समष्टि S = {H, T}, तो n(S) = 2। अनुकूल परिणाम {H}, n(E) = 1। इसलिए P(हेड) = 1 ÷ 2 = 0.500।

सवाल 2 (एक पासा): एक पासा एक बार फेंका गया — (क) ठीक 4 आने की, (ख) सम संख्या आने की, (ग) 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता निकालो

(क) n(S) = 6, अनुकूल परिणाम {4}, इसलिए P = 1 ÷ 6 = 0.167।

(ख) सम संख्या {2, 4, 6}, n(E) = 3, इसलिए P = 3 ÷ 6 = 0.500।

(ग) 4 से बड़ी मतलब {5, 6}, n(E) = 2, इसलिए P = 2 ÷ 6 = 0.333।

सवाल 3 (दो पासे, सिमुलेशन का डिफ़ॉल्ट): दो पासे एक साथ फेंके गए — योग ठीक 7 आने की प्रायिकता निकालो

दो पासों के कुल जोड़े n(S) = 6 × 6 = 36। योग 7 देने वाले जोड़े: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — कुल 6। इसलिए P = 6 ÷ 36 = 0.167 — ग्यारह संभावित योगों में सबसे ज़्यादा संभावित योग।

सवाल 4 (दो पासे): योग 3 का गुणज होने (यानी 3, 6, 9 या 12) की प्रायिकता निकालो

योग 3 के 2 जोड़े, 6 के 5, 9 के 4, और 12 का 1 — कुल 12 जोड़े। इसलिए P = 12 ÷ 36 = 0.333।

सवाल 5 (थैला, सिमुलेशन का डिफ़ॉल्ट): एक थैले में 3 लाल, 2 नीली और 1 हरी गेंदें हैं; लाल गेंद निकलने की, और नीली न निकलने की प्रायिकता निकालो

कुल गेंदें n(S) = 6। P(लाल) = 3 ÷ 6 = 0.500।

नीली न होने का मतलब लाल या हरी, 4 अनुकूल गेंदें। P(नीली नहीं) = 4 ÷ 6 = 0.667 — पूरक नियम से भी यही जवाब मिलता है: 1 − P(नीली) = 1 − (2÷6)।

सवाल 6 (थैला, बिना वापस रखे दो बार निकालना): उसी थैले से एक गेंद निकालकर वापस नहीं रखी गई, फिर दूसरी निकाली गई — दोनों लाल होने की प्रायिकता निकालो

पहली बार P(लाल) = 3 ÷ 6। वापस न रखने पर थैले में अब 5 गेंदें बचीं, जिनमें 2 लाल हैं, इसलिए दूसरी बार P(फिर लाल) = 2 ÷ 5।

दोनों साथ घटने की प्रायिकता = (3÷6) × (2÷5) = 0.200। सिमुलेशन की तरह वापस रखकर निकालने पर दूसरी बार भी P(लाल) = 3÷6 ही रहता — यही "वापस रखकर" और "वापस न रखकर" निकालने का असली फ़र्क़ है।

सवाल 7 (पूरक घटना): एक पासा फेंका गया — 6 न आने की प्रायिकता निकालो

P(6 आना) = 1 ÷ 6। इसलिए P(6 न आना) = 1 − (1÷6) = 0.833।

सवाल 8 (स्वतंत्र घटनाएँ): एक सिक्का और एक पासा साथ चलाए गए — हेड और 6 दोनों आने की प्रायिकता निकालो

सिक्के का परिणाम पासे को प्रभावित नहीं करता, इसलिए दोनों घटनाएँ स्वतंत्र हैं। P(हेड और 6) = P(हेड) × P(6) = (1÷2) × (1÷6) = 0.083।

बोनस सवाल 9 (प्रयोगसिद्ध प्रायिकता): एक कारखाने में 500 बल्ब जाँचे गए, जिनमें 15 खराब निकले; एक बल्ब के खराब होने की प्रायिकता का अनुमान लगाओ

यहाँ कोई समान-संभावित प्रतिदर्श समष्टि नहीं है, इसलिए सैद्धांतिक सूत्र नहीं चलेगा — इसकी जगह प्रयोगसिद्ध परिभाषा चाहिए: P(खराब) ≈ खराब बल्बों की संख्या ÷ कुल जाँचे गए = 15 ÷ 500 = 0.030 (यानी 3.0%)।

और ज़्यादा बल्ब जाँचने पर यह अनुमान और भरोसेमंद होता जाएगा — बिल्कुल वैसे ही जैसे सिमुलेशन में कोशिशें बढ़ाने पर होता है।

आम गलतियाँ

प्रायिकता में ज़्यादातर गलतियाँ समझ की कमी से नहीं, गिनती या शब्दों के मतलब में होती हैं।

"समान रूप से संभावित नहीं" वाले परिणामों पर सीधा सूत्र लगा देना — जैसे एक असंतुलित सिक्के या भारी पासे में हर परिणाम की प्रायिकता बराबर मान लेना।
प्रतिदर्श समष्टि गलत गिनना — दो पासों में योग गिनते समय (1,2) और (2,1) को एक ही परिणाम मान लेना, जबकि ये दो अलग प्रतिदर्श बिंदु हैं।
वापस रखकर निकालने और वापस न रखकर निकालने में गड्डमड्ड कर देना — दूसरी बार निकालने पर कुल संख्या घटी है या नहीं, यह पहले तय करो।
प्रायिकता को प्रतिशत समझकर 1 से बड़ा लिख देना, या भिन्न को उल्टा लिख देना।
पूरक नियम भूलकर "न घटने" की प्रायिकता अलग से नए सिरे से गिनने की कोशिश करना, जबकि 1 − P(E) लिखते ही काम हो जाता है।
स्वतंत्र घटनाओं का गुणा-नियम उन घटनाओं पर लगा देना जो असल में एक-दूसरे पर निर्भर हैं, जैसे बिना वापस रखे दो बार गेंद निकालना।

रोज़मर्रा में इस्तेमाल

प्रायिकता का हिसाब परीक्षा की कॉपी से आगे बढ़कर कई फ़ैसलों के पीछे काम करता है।

मौसम पूर्वानुमान: "70% बारिश की संभावना" का मतलब है कि इसी तरह के मौसम वाले पिछले हज़ारों दिनों में से लगभग 70% दिन बारिश हुई — यह प्रयोगसिद्ध प्रायिकता का सीधा उदाहरण है।
बीमा कंपनियाँ: किस उम्र का व्यक्ति औसतन कितने साल जीता है, इसी आँकड़े से प्रीमियम तय होता है।
कारखाने की गुणवत्ता जाँच: हज़ारों उत्पादों में से कुछ का नमूना जाँचकर पूरे बैच की गुणवत्ता का अनुमान लगाया जाता है — बिल्कुल बोनस सवाल 9 जैसा।
चिकित्सा: कोई दवा कितनी कारगर है, यह मरीज़ों के समूहों पर परीक्षण करके मापा जाता है।
आनुवंशिकी: माता-पिता के जीन से बच्चे की आँखों का रंग या रक्त समूह क्या होगा, इसकी प्रायिकता निकाली जाती है।
खेल और जुआ: हर कैसीनो खेल और लॉटरी इस तरह बनाई जाती है कि लंबे समय में (बड़ी संख्याओं के नियम के अनुसार) थोड़ा फ़ायदा हमेशा आयोजक के पक्ष में रहे।

परीक्षा कॉर्नर

CBSE बोर्ड (कक्षा 10, "प्रायिकता") में अक्सर सीधे सिक्के, पासे या ताश के पत्तों से प्रायिकता निकालने वाले सवाल आते हैं — प्रतिदर्श समष्टि सही गिन लो तो जवाब आसान है।

कक्षा 11 में ("प्रायिकता" फिर से, इस बार क्रमचय-संचय के साथ) यही प्रतिदर्श समष्टि वाली सोच बड़े नमूना समष्टियों को गिनने में इस्तेमाल होती है — इसलिए अभी से हाथ से n(S) और n(E) गिनने में सहज हो जाओ।

पूरे अंक पाने के लिए प्रतिदर्श समष्टि S और घटना E कॉपी में साफ़ लिखो, n(S) और n(E) स्पष्ट दिखाओ, तभी अंतिम भिन्न लिखो — सिर्फ़ जवाब लिखने से विधि के अंक कट जाते हैं, भले संख्या सही हो।

एक नज़र में रिवीज़न

परीक्षा से ठीक पहले यह टेबल एक बार देख लो।

स्थिति	सूत्र	उदाहरण
समान रूप से संभावित घटनाएँ	P(E) = n(E) / n(S)	P(हेड) = 0.500
पूरक घटना	P(not E) = 1 − P(E)	P(6 नहीं) = 0.833
स्वतंत्र घटनाएँ (और)	P(A और B) = P(A) × P(B)	P(हेड और 6) = 0.083
प्रयोगसिद्ध प्रायिकता	P(E) ≈ घटनाओं की संख्या / कुल कोशिशें	15/500 = 0.030

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

प्रायिकता किसे कहते हैं?

किसी घटना के घटने की संभावना को 0 (कभी नहीं) से 1 (हमेशा) के बीच एक संख्या से बताना प्रायिकता कहलाता है।

प्रतिदर्श समष्टि किसे कहते हैं?

किसी दैव प्रयोग के सभी संभावित परिणामों के पूरे समुच्चय को प्रतिदर्श समष्टि (S) कहते हैं। सिक्के की प्रतिदर्श समष्टि {H, T} है, पासे की {1,2,3,4,5,6}।

सैद्धांतिक और प्रयोगसिद्ध प्रायिकता में क्या फ़र्क़ है?

सैद्धांतिक प्रायिकता बिना कोई प्रयोग किए, सिर्फ़ तर्क से P(E)=n(E)/n(S) द्वारा निकाली जाती है। प्रयोगसिद्ध प्रायिकता बार-बार चलाकर वास्तव में मिली दर होती है। कोशिशें बढ़ने पर दूसरी वाली पहली के पास आती जाती है।

बड़ी संख्याओं का नियम क्या कहता है?

किसी दैव प्रयोग को जितनी ज़्यादा बार दोहराया जाए, प्रयोगसिद्ध प्रायिकता उतनी ही सैद्धांतिक प्रायिकता के पास आती जाती है। कम कोशिशों में परिणाम बेतरतीब दिख सकते हैं।

क्या प्रायिकता कभी ऋणात्मक या 1 से बड़ी हो सकती है?

नहीं। प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच रहती है। हिसाब में इससे बाहर कुछ आए तो समझो सूत्र या गिनती में गलती हुई है।

दो पासे फेंकने पर सबसे ज़्यादा संभावित योग 7 ही क्यों होता है?

क्योंकि 36 समान-संभावित जोड़ों में से 6 जोड़ों का योग 7 होता है — जो किसी भी अन्य योग से ज़्यादा है। इसके उलट, योग 2 या 12 पाने का तरीका सिर्फ़ एक-एक ही है।

गेंद वापस रखकर या बिना रखे निकालने से प्रायिकता में फ़र्क़ क्यों पड़ता है?

वापस रखकर निकालने पर थैले की कुल संख्या हर बार वही रहती है, इसलिए हर निकालने की प्रायिकता स्थिर रहती है। बिना वापस रखे निकालने पर कुल संख्या हर बार घटती है, इसलिए अगली निकासी की प्रायिकता बदल जाती है।

दो घटनाएँ कब स्वतंत्र कहलाती हैं?

जब एक घटना का परिणाम दूसरी की प्रायिकता को बिल्कुल प्रभावित न करे — जैसे एक सिक्का और एक पासा साथ चलाना। तब दोनों साथ घटने की प्रायिकता बस दोनों का गुणनफल होती है।

सिमुलेशन में "सिद्धांत से औसत अंतर" संख्या क्या दिखाती है?

यह हर परिणाम की प्रयोगसिद्ध दर और सैद्धांतिक प्रायिकता के बीच के अंतर का औसत है। कोशिशें बढ़ने के साथ यह संख्या घटते देखना ही बड़ी संख्याओं के नियम को अपनी आँखों से देखना है।

ताश की गड्डी से एक पत्ता निकालने पर सूत्र कैसे बदलता है?

सिद्धांत वही रहता है, बस प्रतिदर्श समष्टि बदल जाती है। एक सामान्य गड्डी में n(S) = 52 होता है। जैसे एक बादशाह (King) निकलने की प्रायिकता P = 4 ÷ 52 = 1/13, क्योंकि चारों सूट (हुकुम, पान, ईंट, चिड़ी) में एक-एक करके कुल 4 बादशाह होते हैं।

क्या दो घटनाएँ एक साथ परस्पर अपवर्जी भी हो सकती हैं और स्वतंत्र भी?

आमतौर पर नहीं, जब तक इनमें से किसी एक की प्रायिकता शून्य न हो। परस्पर अपवर्जी होने का मतलब है एक घटने पर दूसरी बिल्कुल नहीं घट सकती, जबकि स्वतंत्र होने की शर्त है कि एक का घटना या न घटना दूसरी की प्रायिकता को बिल्कुल न बदले — ये दोनों शर्तें साथ तभी पूरी हो सकती हैं जब कम से कम एक घटना कभी घटे ही नहीं।

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एनिमेशन से अवधारणा साफ़ हुई, अब परीक्षा की तैयारी: सिलेबस, सुझाव, किताबें और प्रवेश परीक्षा गाइड नीचे हैं (अंग्रेज़ी में)।

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शुरुआत से: प्रयोग, परिणाम और प्रतिदर्श समष्टि

सूत्रों से पहले, ज़रूरी शब्दावली

सूत्र: सैद्धांतिक से प्रयोगसिद्ध तक

परस्पर अपवर्जी बनाम स्वतंत्र घटनाएँ — दो अलग बातें, जो अक्सर गड्डमड्ड हो जाती हैं

सिमुलेशन में यह करके देखो

1. सिक्के में बड़ी संख्याओं का नियम देखो

2. दो पासों के ग्रिड से गिनना सीखो

3. थैला बदलकर सिद्धांत को तुरंत बदलते देखो

4. गति बढ़ाकर जल्दी मिलान करो

हल किए गए सवाल

सवाल 1 (सिक्का): एक सिक्का एक बार उछाला गया — हेड आने की प्रायिकता निकालो

सवाल 3 (दो पासे, सिमुलेशन का डिफ़ॉल्ट): दो पासे एक साथ फेंके गए — योग ठीक 7 आने की प्रायिकता निकालो

सवाल 4 (दो पासे): योग 3 का गुणज होने (यानी 3, 6, 9 या 12) की प्रायिकता निकालो

सवाल 7 (पूरक घटना): एक पासा फेंका गया — 6 न आने की प्रायिकता निकालो

सवाल 8 (स्वतंत्र घटनाएँ): एक सिक्का और एक पासा साथ चलाए गए — हेड और 6 दोनों आने की प्रायिकता निकालो

आम गलतियाँ

रोज़मर्रा में इस्तेमाल

परीक्षा कॉर्नर

एक नज़र में रिवीज़न

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

प्रायिकता किसे कहते हैं?

प्रतिदर्श समष्टि किसे कहते हैं?

सैद्धांतिक और प्रयोगसिद्ध प्रायिकता में क्या फ़र्क़ है?

बड़ी संख्याओं का नियम क्या कहता है?

क्या प्रायिकता कभी ऋणात्मक या 1 से बड़ी हो सकती है?

दो पासे फेंकने पर सबसे ज़्यादा संभावित योग 7 ही क्यों होता है?

गेंद वापस रखकर या बिना रखे निकालने से प्रायिकता में फ़र्क़ क्यों पड़ता है?

दो घटनाएँ कब स्वतंत्र कहलाती हैं?

सिमुलेशन में "सिद्धांत से औसत अंतर" संख्या क्या दिखाती है?

ताश की गड्डी से एक पत्ता निकालने पर सूत्र कैसे बदलता है?

क्या दो घटनाएँ एक साथ परस्पर अपवर्जी भी हो सकती हैं और स्वतंत्र भी?

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